今回は平成28年度 理論科目 A問題9を解説します。R＝1Ω、L₁＝0.4mH、L₂＝0.2mH、C＝8μFからなる直並列回路に交流電圧V＝100Vを加えたとき、インピーダンスが極めて小さくなる直列共振角周波数ω₁と、極めて大きくなる並列共振角周波数ω₂の組合せを求める問題です。
並列部（L₂とC）が並列共振するとインピーダンスが最大になり、電源から見たインピーダンスも極大（ω₂）。一方、回路全体のリアクタンスが打ち消し合うと直列共振でインピーダンス極小（ω₁）。それぞれの条件式を立てます。
出題のポイント
平成28年度 理論科目 A問題9：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 平成28年度 A問題9
図のように、R＝1Ωの抵抗、インダクタンスL1＝0.4mH、L2＝0.2mHのコイル、及び静電容量C＝8μFのコンデンサからなる直並列回路がある。この回路に交流電圧V＝100Vを加えたとき、回路のインピーダンスが極めて小さくなる直列共振角周波数ω1〔rad/s〕の値、及び回路のインピーダンスが極めて大きくなる並列共振角周波数ω2〔rad/s〕の値の組合せとして、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
ω₁〔rad/s〕 ω₂〔rad/s〕 (1) 2.5×104 3.5×103 (2) 2.5×104 3.1×104 (3) 3.5×103 2.5×104 (4) 3.1×104 3.5×103 (5) 3.1×104 2.5×104
ポイント解説：並列共振ω₂＝1/√(L₂C)、直列共振はリアクタンス総和＝0
並列部（L2とCの並列）が並列共振すると、そのインピーダンスが無限大（開放）となり、回路全体のインピーダンスが極大になります。これがω2で、ω2＝1/√(L2C)。
一方、回路全体の直列共振は、L1のリアクタンスと並列部のリアクタンスが打ち消し合ってインピーダンスが極小（≒R）になる条件です。ω1L1と並列部のリアクタンスの和を0とおいて解きます。
問題の解説
STEP1 並列共振角周波数ω₂を求める
並列部L2∥Cが共振するとインピーダンス極大。ω2L2＝1/(ω2C)より$$\omega_2=\frac{1}{\sqrt{L_2C}}=\frac{1}{\sqrt{0.2\times10^{-3}\times8\times10^{-6}}}=\frac{1}{\sqrt{1.6\times10^{-9}}}=2.5\times10^{4}\;[\mathrm{rad/s}]$$
STEP2 直列共振の条件式を立てる
回路全体のリアクタンスは、ωL1＋（並列部L2∥Cのリアクタンス）。これが0になるのが直列共振。整理するとω1L1(ω1C−1/(ω1L2))＝1、すなわち$$\omega_1^{2}L_1C=1+\frac{L_1}{L_2}$$L1/L2＝0.4/0.2＝2より右辺＝3。
STEP3 ω₁を計算する
$$\omega_1^{2}=\frac{3}{L_1C}=\frac{3}{0.4\times10^{-3}\times8\times10^{-6}}=\frac{3}{3.2\times10^{-9}}\approx9.4\times10^{8}$$$$\omega_1\approx3.1\times10^{4}\;[\mathrm{rad/s}]$$よって（ω1,ω2）＝(3.1×10⁴, 2.5×10⁴)で(5)です。
答え：(5)（ω1≒3.1×10⁴, ω2＝2.5×10⁴ rad/s）
💡 覚え方
並列部L2∥Cの並列共振でインピーダンス極大→ω₂＝1/√(L₂C)。直列共振はω²L₁C＝1+L₁/L₂。
⚠️ よくある間違い
ω1（直列共振・極小）とω2（並列共振・極大）を取り違えない。直列共振ではL1が並列部の容量性リアクタンスと打ち消し合う。
まとめ
| 並列共振ω₂ | 1/√(L₂C)＝2.5×10⁴ |
| 直列共振条件 | ω₁²L₁C＝1+L₁/L₂＝3 |
| ω₁ | √(3/(L₁C))≒3.1×10⁴ |
| 答え | (3.1×10⁴,2.5×10⁴)…(5) |
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