単相交流11【電験3種理論】RLC直列共振回路の共振周波数を求める！令和5年度下期 A問題8 完全解説

2026年7月12日2026年8月4日

電験3種理論科目電気回路（単相交流）令和5年度下期 A問題8 LとCが打ち消し合う周波数！共振点は何Hz？

今回は令和5年度下期理論科目 A問題8を解説します。1 V電源、C、L＝10 mH、R＝0.5 Ωの直列回路で、共振時のコイル端子電圧V_L＝314 Vから共振周波数〔kHz〕を求めます。

直列共振ではX_L＝X_Cとなり、合成インピーダンスはRだけです。共振電流I、X_L、ω、fを順に求め、さらに未知のC、電圧拡大率Q、全選択肢、電力まで検算します。

令和5年度下期理論科目 A問題8：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目単相交流令和5年度下期 A問題8 問題文 — 令和5年度下期理論科目 A問題8 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和5年度下期第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題8

電験3種理論科目【電気回路（単相交流）】令和5年度下期 A問題8

　図のような交流回路において、電源の周波数を変化させたところ、共振時のインダクタンスLの端子電圧V_Lは314Vであった。共振周波数の値〔kHz〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、L＝10mH、R＝0.5Ω、電源電圧は1Vとする。

（1）2.0　（2）2.5　（3）3.0　（4）3.5　（5）4.0〔kHz〕

出題のポイント：共振時の電流は「電源電圧÷抵抗」

直列共振では $X_L$ と $X_C$ が打ち消し合い、残るのは抵抗 $R$ だけです。回路全体のインピーダンスが最小になり、電流が最大になります。

本問はこの $I=V/R$ が出発点です。電流さえ出れば、コイルの端子電圧 $V_L=IX_L$ から $X_L$ が逆算でき、$X_L=\omega L$ で角周波数、そこから周波数へとつながります。

直列共振の要点

$$X_L=X_C\ \Rightarrow\ \dot Z=R,\qquad I=\frac{V}{R}$$

※共振周波数の公式 $f_0=1/(2\pi\sqrt{LC})$ は本問では使えません——$C$ が与えられていないからです。

「公式が使えないときこそ定義に戻る」のが本問の教訓です。$C$ の代わりに $V_L$ という別の手がかりが与えられているので、$L$ 側から攻めるのが正解ルートになります。

1V電源、C、L=10mH、R=0.5Ωの閉じた直列RLC回路、コイル端子電圧314V、共振時にVLとVCが相殺してV=VRとなる正確な電圧ベクトル図、周波数を求める4段階を答えを伏せて示す出題のポイント図 — 共振時はV_LとV_Cが大きさ等しく逆位相で相殺し、電源電圧VはV_Rに等しくなります。この図では周波数や正答番号を示していません。

解説：$I\to X_L\to\omega\to f$ の4ステップ

$$I=\frac{V}{R}=\frac{1}{0.5}=2\ \mathrm{A}$$

❶ 共振時の電流
$L$・$C$ は消える

$$X_L=\frac{V_L}{I}=\frac{314}{2}=157\ \Omega$$

❷ コイルの端子電圧から

$$\omega=\frac{X_L}{L}=\frac{157}{10\times10^{-3}}=1.57\times10^{4}\ \mathrm{rad/s}$$

❸ $X_L=\omega L$ を解く

$$f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1.57\times10^{4}}{6.28}\fallingdotseq2.5\times10^{3}\ \mathrm{Hz}$$

❹ 周波数へ
2.5 kHz

❶で $R=0.5\ \Omega$ を使うのがポイントです。「電源電圧が1 Vしかないのにコイルには314 Vも出る」——これが共振の電圧拡大作用で、拡大率は $Q=V_L/V=314$ 倍にもなります。

❹では $157/(2\pi)=25.0$ という関係が効いています。$157\fallingdotseq50\pi$ なので、$\omega=5000\pi$、$f=2500\ \mathrm{Hz}$ と暗算でも出せます。

直列共振時のZ=0.5Ω、電流2A、コイルリアクタンス157Ω、電圧拡大率Q=314、角周波数15700rad/sを順に導くポイント解説図 — I＝2 A、X_L＝157 Ωです。Q＝V_L/VとQ＝X_L/Rはともに314となり、ω＝X_L/L＝15700 rad/sです。

共振周波数2498.73Hz=約2.5kHzと正解2を導き、未知のC=約0.4057μFを逆算してXL=XCとVC=314Vを検算する詳細解説図 — f＝157/(2π×0.01)＝2498.73…Hzなので2.5 kHzが最も近い値です。Cを逆算して共振条件も再現します。

全5周波数選択肢から予測されるVL、Q=314、P=2W、QL=+628var、QC=−628var、共振時力率1と電圧ベクトルで正解2を多重検算する詳細解説図 — 全選択肢のV_Lを戻し計算し、電圧拡大率Q、電力、無効電力、共振時の電圧ベクトルでも2.5 kHzを検算します。

答え$f\fallingdotseq2.5\ \mathrm{kHz}$　→　選択肢(2)

誤答の正体：選択肢ごとに $V_L$ を出してみる

本問は逆算でも検算できます。各選択肢の周波数で $V_L=I\omega L=2\times2\pi f\times0.01$ を計算してみましょう。

選択肢	$f$〔kHz〕	$X_L=\omega L$〔Ω〕	$V_L=IX_L$〔V〕	判定
(1)	2.0	126	251	×
(2)	2.5	157	314	◎
(3)	3.0	188	377	×
(4)	3.5	220	440	×
(5)	4.0	251	503	×

(3)の377 Vにだけは注意してください。$377=120\pi$ で、60 Hzの $\omega$ としてよく見かける数字です。314も $100\pi$（50 Hzの $\omega$）——見慣れた数字に引きずられて「50 Hzだ」と即断しないことが大切です。

⚠️ よくある間違い
$I=V/R=2\ \mathrm{A}$ を $1\ \mathrm{A}$ と誤ると、$X_L=314\ \Omega$、$f=5.0\ \mathrm{kHz}$ になります。選択肢にない値が出たら計算ミスのサイン——$R=0.5\ \Omega$ で割ると電流は2倍である点を確認してください。

☝️ ひっかけの作り方：$L=10\ \mathrm{mH}$ を $10\ \mathrm{H}$ と読むと、$\omega=15.7$、$f=2.5\ \mathrm{Hz}$——数字は同じ「2.5」でも単位が千倍違います。ミリを落とすと桁が3つずれるので、代入時にいったん $10\times10^{-3}$ と書くのが安全です。

深掘り①：与えられていない $C$ と $Q$ を出してみる

答えが出た後に $C$ を求めておくと、回路の全体像がつかめます。共振条件 $\omega L=1/(\omega C)$ から逆算します。

$$C=\frac{1}{\omega^{2}L}=\frac{1}{(1.57\times10^{4})^{2}\times0.01}$$

❶ 共振条件を $C$ について解く

$$C\fallingdotseq4.06\times10^{-7}\ \mathrm{F}=0.41\ \mu\mathrm{F}$$

❷ 計算
実用的な値

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=157\ \Omega=X_L$$

❸ 検算
一致 ✓

$X_C$ が $X_L$ と一致したので、計算は正しいと確認できます。コンデンサの端子電圧も $V_C=IX_C=314\ \mathrm{V}$——$V_L$ と同じ大きさで向きが逆なので、足すとゼロになります。

量	値	意味
電源電圧 $V$	1 V	たった1 V
$V_R$	1 V	電源電圧と等しい
$V_L$	314 V	電源の314倍
$V_C$	314 V	$V_L$ と逆位相
$Q=X_L/R$	314	電圧拡大率

「$V_L$ と $V_C$ が打ち消し合う」＝「それぞれがゼロ」ではありません。どちらも314 Vが実在し、部品にはその電圧がかかっています。耐圧が足りなければ絶縁破壊します——共振回路の設計では $Q$ の把握が欠かせません。

深掘り②：$Q$ が高いとどうなるか

$Q$（尖鋭度）は「共振の鋭さ」を表します。$Q=\omega L/R=1/(\omega CR)$ と何通りにも書けますが、本問のように $V_L/V$ で読み取るのが最も速い場面もあります。

尖鋭度 $Q$ と帯域幅

$$Q=\frac{\omega_0 L}{R}=\frac{V_L}{V}=\frac{f_0}{B}$$

※$B$ は電力が半分になる周波数幅です。$Q$ が大きいほど帯域が狭く、鋭く共振します。

$$Q=\frac{V_L}{V}=\frac{314}{1}=314$$

❶ 電圧比から
非常に高い $Q$

$$B=\frac{f_0}{Q}=\frac{2500}{314}\fallingdotseq8\ \mathrm{Hz}$$

❷ 帯域幅
わずか8 Hz

2500 Hzの共振点に対して、帯域はたった8 Hzです。周波数が少し外れただけで電流が急減する——ラジオの選局回路が特定の放送局だけを拾えるのは、この鋭さのおかげです。

逆に電力系統では高い $Q$ は危険です。ケーブルの静電容量と変圧器のインダクタンスがたまたま共振すると、異常電圧が発生します。この現象を「直列共振過電圧」と呼び、電力科目でも扱われるテーマです。

深掘り③：共振の3つの顔を整理する

電験3種では、直列共振と並列共振が繰り返し問われます。混同しやすいので、対比表で覚えてしまいましょう。

	直列共振	並列共振
共振時のインピーダンス	最小（$=R$）	最大（理想では∞）
共振時の電流	最大	最小（理想では0）
拡大されるもの	電圧（$V_L=QV$）	電流（$I_L=QI$）
等価的な見え方	短絡	開放
共振周波数	$f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$	同じ（理想の場合）

共振周波数の式はどちらも同じですが、起きることが正反対です。「直列＝短絡、並列＝開放」と覚えておけば、回路のどこが消えるかが即座に判断できます。

本問のように $C$ が未知でも、$L$ と $V_L$ が分かれば周波数が出せるのは、共振時に $I=V/R$ が確定するからです。共振という条件が、複雑な回路を「抵抗1個」に単純化してくれます。

⏱️ 本番での進め方
❶ 共振と書いてあったら、まず $I=V/R$ を書く——ここが全ての起点。
❷ $V_L$ や $V_C$ が電源電圧より大きくても驚かない——$Q$ 倍される。
❸ $157=50\pi$、$314=100\pi$、$377=120\pi$ を暗記しておくと計算が速い。
❹ 答えが選択肢にない → 電流の計算を疑う（$R$ で割り忘れ・2倍のミス）。

💡 覚え方
共振の問題は「何が与えられていないか」を見ると方針が決まります。本問は $C$ がない代わりに $V_L$ がある——だから $L$ 側から $\omega$ を出す。与えられた情報がルートを指定しているのです。

出題履歴：直列共振はこう問われてきた

直列共振は理論科目の頻出テーマです。共振周波数そのものを問う形、電圧拡大を問う形、共振条件から素子値を逆算する形——出題の切り口はさまざまです。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

あわせて解いておきたい記事：【理論】平成28年度A問題9（直列共振と並列共振の角周波数）／【理論】平成24年度A問題7（RLC直列共振の空欄補充）

まとめ

共振条件	X_L＝X_C、Z＝R＝0.5 Ω
共振電流	I＝1/0.5＝2 A
コイル	X_L＝314/2＝157 Ω
角周波数	ω＝157/0.01＝15700 rad/s
共振周波数	f＝2498.73…Hz≈2.5 kHz …(2)
電圧拡大率	Q＝314