今回は令和6年度上期 理論科目 A問題9を解説します。基本波と第3高調波を含む電圧e(t)・電流i(t)から、1周期平均の有効電力〔kW〕を求めます。
ひずみ波の平均電力は、同じ周波数成分どうしの有効電力の和です。最大値で与えられた各次数についてPn＝VmnImncos(φvn−φin)/2を計算し、異なる周波数の交差項が平均0になることも確認します。
令和6年度上期 理論科目 A問題9：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和6年度上期 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題9
電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 令和6年度上期 A問題9
次式に示す電圧e〔V〕及び電流i〔A〕による電力の値〔kW〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。e＝100sinωt＋50sin(3ωt−π/6)〔V〕、i＝20sin(ωt−π/6)＋10√3sin(3ωt+π/6)〔A〕
（1）0.95 （2）1.08 （3）1.16 （4）1.29 （5）1.34〔kW〕
出題のポイント：電力になるのは「同じ周波数どうし」だけ
電圧にも電流にも、基本波と第3高調波が混ざっています。これらを掛け合わせると、\(\omega\times\omega\)、\(\omega\times3\omega\)、\(3\omega\times\omega\)、\(3\omega\times3\omega\) の4通りの積ができます。
このうち平均電力に残るのは、同じ周波数どうしの2つだけです。異なる周波数の積は、1周期で平均するとぴったりゼロになります——これが「ひずみ波の電力は各次数の電力の和」という原理です。
\(1/2\) を忘れると答えが2倍になります。最大値 \(V_m\) と実効値 \(V\) は \(V=V_m/\sqrt{2}\) の関係で、\(V_mI_m/2=(V_m/\sqrt2)(I_m/\sqrt2)=VI\)——\(\sqrt2\) が2つで2になると考えれば納得できます。
解説：次数ごとに位相差を取って足す
電圧と電流を次数ごとに整理します。電流の第3高調波が \(10\sqrt3\) と無理数になっているのは、あとで \(\cos60^\circ=1/2\) と掛けてきれいな値にするためです。
| 次数 | 電圧の最大値・位相 | 電流の最大値・位相 | 位相差 \(\phi_v-\phi_i\) |
| 基本波 \(\omega\) | 100 V、\(0\) | 20 A、\(-\pi/6\) | \(+\pi/6\)（30°） |
| 第3高調波 \(3\omega\) | 50 V、\(-\pi/6\) | \(10\sqrt3\) A、\(+\pi/6\) | \(-\pi/3\)（−60°） |
\(\fallingdotseq866\ \mathrm{W}\)
\(\fallingdotseq217\ \mathrm{W}\)
\(\fallingdotseq1.08\ \mathrm{kW}\)
\(\cos\) の中身は「電圧の位相 − 電流の位相」です。基本波は \(0-(-\pi/6)=+\pi/6\)、第3高調波は \(-\pi/6-(+\pi/6)=-\pi/3\)——引き算の順序に注意してください。
ただし \(\cos\) は偶関数なので符号は結果に影響しません。\(\cos(-\pi/3)=\cos(\pi/3)=1/2\)——位相差の絶対値さえ合っていれば正しい電力が出ます。
誤答の正体：どこで \(\cos\) を取り違えるか
| 選択肢 | 値〔kW〕 | どんな誤りか |
| (1) | 0.95 | 基本波だけで止める（\(0.87\) に最も近い選択肢） |
| (2) | 1.08 | 正解 |
| (3) | 1.16 | 位相差の計算を誤る |
| (4) | 1.29 | 第3高調波の位相差をゼロと誤る（\(866+433=1299\)） |
| (5) | 1.34 | 力率を掛け忘れる方向の誤り（\(VI=1.48\) に近い） |
最も多いのが(4)です。電圧が \(-\pi/6\)、電流が \(+\pi/6\) と書かれているのを見て「どちらも \(\pi/6\) だから同相」と早合点すると、\(\cos0=1\) で \(433\ \mathrm{W}\)——合計1.30 kWとなり(4)を選んでしまいます。
符号が逆なら位相差は足し算になります。\(-\pi/6\) と \(+\pi/6\) の差は \(\pi/3\)（60°）——数直線をイメージすれば間違えません。
⚠️ よくある間違い
\(10\sqrt3\fallingdotseq17.3\) を \(10\) と読み違えると、\(P_3=125\ \mathrm{W}\)、合計991 Wとなり、(1)0.95を選ぶことになります。\(\sqrt3\) はわざわざ付けられた数字——意味があると考えてください。
☝️ ひっかけの作り方：\(1/2\) を落とすと答えは2倍の2.17 kWです。選択肢にない値が出たら、まず \(1/2\) を疑ってください。「最大値表示なら \(1/2\)、実効値表示ならそのまま」——問題文の式が \(\sin\) の係数で与えられていれば最大値です。
深掘り①：高調波はどこから来るのか
理想的な電力系統には正弦波しか流れないはずです。それなのに高調波が問題になるのは、非線形な負荷が存在するからです。
| 発生源 | しくみ | 主な次数 |
| インバータ・整流器 | 半導体が電流を切り刻む | 第5・第7 |
| アーク炉・溶接機 | アークの電流が不規則 | 広い範囲 |
| 変圧器の励磁電流 | 鉄心の磁気飽和 | 第3 |
| 放電灯・電子機器 | 電流が波形の頂点付近だけ流れる | 第3 |
共通するのは「電圧と電流が比例しない」という点です。抵抗やコイルのような線形素子だけなら、正弦波を入れれば正弦波が出てきます。ところが半導体スイッチや飽和した鉄心では、波形が変形してしまいます。
本問で扱う第3高調波は、変圧器の励磁電流や単相の電子機器で発生する代表的な次数です。三相回路では第3高調波が中性線に集中するという厄介な性質もあり、三相交流の分野でも登場します。
深掘り②：高調波が引き起こす障害と対策
高調波は電力にほとんど寄与しないのに、電流だけは確実に流れます。その結果、さまざまな障害が起きます。
| 障害 | 内容 |
| 電線・変圧器の過熱 | \(I^{2}R\) 損失が増える（電力にならない電流でも熱は出る） |
| 進相コンデンサの過負荷 | \(X_C\propto1/f\) なので高調波電流が流れ込みやすい |
| 直列リアクトルとの共振 | 特定次数で共振すると電流が異常に増える |
| 計器の誤差 | 平均値整流形の電圧計は正弦波前提で目盛られている |
| 通信線への誘導障害 | 周波数が高いほど誘導しやすい |
とくに進相コンデンサは高調波を吸い込みます。容量性リアクタンスは周波数に反比例するので、第5高調波に対しては基本波の1/5の抵抗しかない——電流が集中して焼損することがあります。
対策として直列リアクトル（一般に容量の6 %）を入れます。誘導性リアクタンスは周波数に比例するので、高調波に対して大きな抵抗になります。コンデンサとリアクトルの組合せで、高調波だけを選択的に抑えるわけです。
6 %という数値は、第5高調波で回路全体が誘導性になるように選ばれています。もし容量性のままだと、系統のインダクタンスと並列共振して逆に高調波を増幅してしまいます。電力科目で問われる典型論点です。
深掘り③：次数ごとの力率と全体像
ひずみ波では「力率」が一意に決まりません。次数ごとに位相差が違うからです。本問の数値で確かめてみましょう。
| 基本波 | 第3高調波 | 合計 | |
| 電圧（実効値） | 70.7 V | 35.4 V | 79.1 V |
| 電流（実効値） | 14.1 A | 12.2 A | 18.7 A |
| 位相差 | 30° | 60° | — |
| 力率 \(\cos\theta\) | 0.866 | 0.5 | 0.73（総合） |
| 電力 | 866 W | 217 W | 1083 W |
合計の欄で、電圧と電流だけが二乗和の平方根になっていることに注意してください。電力は単純な足し算、実効値は三平方——足し方が違います。
実効値の積
各次数の力率より低い
総合力率0.73は、基本波の0.87より低い値です。第3高調波の力率が0.5と悪いうえ、皮相電力を押し上げているためです。高調波は力率も悪化させると覚えておきましょう。
⏱️ 本番での進め方
❶ 表を作って次数ごとに整理——最大値・位相・位相差を並べれば計算ミスが減る。
❷ 電力は単純和、実効値は二乗和の平方根——足し方の違いを混同しない。
❸ \(\cos\) は偶関数——位相差の符号を間違えても大きさが合えばよい。
❹ 交差項は必ずゼロ——基本波の電圧と高調波の電流を掛けてはいけない。
💡 覚え方
高調波は「電流は流れるが仕事はしない」——このイメージで全体がつながります。電線を熱くし、コンデンサを痛め、力率を下げる。だからこそ対策（直列リアクトル・フィルタ）が必要になるのです。
★重要：令和5年度下期とまったく同じ問題
本問は令和5年度下期A問題9の完全な再出題です。電圧・電流の式、5つの選択肢、正答番号(2)まですべて同一——わずか1年後に、数字ひとつ変えずに出題されました。
| 令和5年度下期 A問題9 | 本問（令和6年度上期 A問題9） | |
| 電圧 \(e\) | \(100\sin\omega t+50\sin(3\omega t-\pi/6)\) | 完全に同一 |
| 電流 \(i\) | \(20\sin(\omega t-\pi/6)+10\sqrt3\sin(3\omega t+\pi/6)\) | 完全に同一 |
| 選択肢の並び | 0.95／1.08／1.16／1.29／1.34 | 同じ |
| 正答番号 | (2) | (2) |
同型ペアの多くは選択肢の並びが変えられて正答番号が動きますが、この組合せは番号まで同じという珍しい例です。1年前の問題がそのまま出る——直近の過去問を軽視できない証拠です。
⚠️ よくある間違い
「昨年度の問題は出ないだろう」という思い込みは危険です。上期と下期で別々に作問されるため、同じ問題が短期間で再登場することがあります。上期・下期の両方を解いておくことをおすすめします。
出題履歴：ひずみ波電力は数年に一度の頻度
ひずみ波の電力計算は、解法さえ知っていれば確実に得点できる問題です。「同じ次数どうしを掛けて足す」だけ——複雑な回路解析は不要です。
この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。
あわせて解いておきたい記事：【理論】令和5年度下期A問題9（同一問題）
まとめ
| 基本波 | P1＝500√3＝866.025…W |
| 第3高調波 | P3＝125√3＝216.506…W |
| 交差項 | 異なる周波数のため平均0 |
| 合計 | P＝625√3＝1082.532…W |
| 令和6年度上期の答え | 1.08 kW …(2) |
問題文は試験センター公式問題PDF（理論 問9、印刷ページ-10-）、正答(2)は公式解答PDFで照合しました。
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・ひずみ波・高調波電力の関連問題：【理論】令和5年度下期A問題9
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