今回は令和元年度 理論科目 B問題15を解説します。接地した導体の床から高さhの位置に正の点電荷Qがあるとき、（a）床より上側の電気力線の様子、（b）鏡像法を使って点電荷を引き上げるのに必要な仕事を求める問題です。
接地導体面より上側の電界は、床下の対称位置に仮想的な鏡像電荷−Qを置いた場と一致します。（a）等電位な導体面へ電気力線は垂直に達します。（b）高さxでの静電力は下向きで、その大きさF＝Q2/(16πε0x2)に等しい上向き外力を積分して仕事を求めます。
令和元年度 理論科目 B問題15：問題文と選択肢
接地導体の前の点電荷は、鏡像法で2つの点電荷の問題に置き換えられます。距離が \(2x\) になることが係数の分かれ目です。まずは問題文を確認しましょう。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和元年度 第三種電気主任技術者試験」理論科目 B問題15
電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和元年度 B問題15
図のように、平らで十分大きい導体でできた床から高さh〔m〕の位置に正の電気量Q〔C〕をもつ点電荷がある。点電荷から床に下ろした垂線の足を点O、床より上側の空間は真空とし、床の導体は接地されている。真空の誘電率をε0〔F/m〕とする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
（a）床より上側の電界は、点電荷のつくる電界と、床の表面に静電誘導によって現れた面電荷のつくる電界との和になる。床より上側の電気力線の様子として適切なものを、下図(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
（b）点電荷は床表面に現れた面電荷から鉛直方向の静電吸引力Fを受ける。その力は床のない状態で点Oに固定した電気量-Q/4の点電荷から受ける静電力に等しい。Fに逆らって点電荷を高さhからz（ただしh＜z）まで鉛直方向に引き上げるのに必要な仕事W〔J〕を表す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
（1）Q2/(4πε0z2) （2）(Q2/4πε0)(1/h-1/z) （3）(Q2/16πε0)(1/h-1/z) （4）Q2/(16πε0z2) （5）(Q2/πε0)(1/h2-1/z2)
出題のポイント：接地導体の前では「鏡像法」が使える
接地した導体の床の上に点電荷がある——この状況を直接計算するのは大変です。しかし鏡像法（電気影像法）を使うと、2つの点電荷の問題に置き換えられます。
| 実際の状況 | 置き換えた状況 | 成り立つ範囲 |
| 接地導体の床＋点電荷 \(+Q\)（高さh） | 床を取り払い、深さhの位置に \(-Q\) を置く | 床より上側だけ |
なぜこの置き換えが成り立つのか——2つの電荷 \(+Q\) と \(-Q\) がつくる電界では、ちょうど中間の平面が電位0の等電位面になります。接地された床も電位0——境界条件が一致するので、上側の電界は同じになるのです。
鏡像電荷は実在しません。実際に床の表面には静電誘導で負の面電荷が現れており、その効果が「鏡像電荷1個」で代表できる、という数学的な便法です。
(a) の解説：等電位面には垂直に入る
電気力線の様子を選ぶ問題です。接地導体面が等電位面であるという一点から決まります。
沿う方向に電位差がない
斜めに入る図は誤り
もし力線が斜めに入っていたら、面に沿う成分があることになります。そうすると導体表面の自由電荷が動いてしまい、静電平衡になりません——垂直以外はありえないのです。
力線の形は「点電荷と鏡像電荷を結ぶ曲線群」になります。正電荷から出た力線が、床に向かって曲がりながら垂直に入る——床の下には力線が存在しない（導体内部は電界0）ことも確認してください。選択肢では、(1)は力線が床の近くで寝てしまい、(2)は床に達する前に折り返し、(3)は床の影響がなく点電荷だけの放射状、(4)は力線が上から降りてくる向き——床へ垂直に入っているのは(5)だけです。
(b) の解説：力を積分して仕事を求める
STEP1 高さxでの力を求める
電荷と鏡像の距離は \(2x\)——電荷が高さxなら、鏡像は深さxにあるからです。
\((2x)^2=4x^2\) なので分母が16π
問題文が「\(-Q/4\) の点電荷から受ける力に等しい」と書いているのは、この式を別の形で表現したものです。実際に確かめると、\(Q\times(Q/4)/(4\pi\varepsilon_0x^2)=Q^2/(16\pi\varepsilon_0x^2)\)——一致します ✓
STEP2 hからzまで積分する
\(h<z\) なので正の値
答えの妥当性を3つの視点で確かめる
導いた式が正しいかを、次元・極限・符号の3つで確認します。
| 確認項目 | 内容 | 結果 |
| 次元 | \([Q^2/(\varepsilon_0)]\times[1/\mathrm{m}]=(\mathrm{C^2/F})/\mathrm{m}\) | J ◎ 仕事の次元 |
| 極限① \(z\to h\) | \(1/h-1/z\to0\) | \(W\to0\) ◎（動かさなければ仕事0） |
| 極限② \(z\to\infty\) | \(1/h-1/z\to1/h\) | \(W\to Q^2/(16\pi\varepsilon_0h)\) ◎（有限） |
| 符号 | \(h<z\) なので \(1/h>1/z\) | \(W>0\) ◎（引き離すには仕事が要る） |
すべて物理的に妥当です。特に「無限遠まで引き離しても仕事が有限」という結果は重要で、これは電荷を導体から完全に引き離すのに必要なエネルギーを意味します。
この考え方は「仕事関数」の古典的なモデルにもつながります。金属から電子を1個取り出すのに必要なエネルギーを、鏡像力に逆らう仕事として見積もる——光電効果や熱電子放出の理解の入口になります。
誤答の正体：次元だけで2つ消える
| 選択肢 | 式 | 問題点 | 判定 |
| (1) | \(Q^2/(4\pi\varepsilon_0z^2)\) | 次元が J/m（力の式のまま積分していない） | × |
| (2) | \((Q^2/4\pi\varepsilon_0)(1/h-1/z)\) | 係数が4倍（距離を \(2x\) でなく \(x\) とした） | × |
| (3) | \((Q^2/16\pi\varepsilon_0)(1/h-1/z)\) | 正解 | ○ |
| (4) | \(Q^2/(16\pi\varepsilon_0z^2)\) | 次元が J/m（積分していない） | × |
| (5) | \((Q^2/\pi\varepsilon_0)(1/h^2-1/z^2)\) | \(1/x^2\) の積分を \(1/x^2\) のままにした | × |
(1)と(4)は次元で即座に消せます。\(1/z^2\) の形は力の次元——仕事（J）ではありません。積分すれば次数が1つ下がるので、答えは \(1/x\) の形になるはずです。
(2)は係数の誤りです。鏡像との距離を \(x\) と誤ると、分母が \(4\pi\varepsilon_0x^2\) になって係数が4倍ずれます。「電荷は高さx、鏡像は深さx、だから距離は \(2x\)」——ここを図で確認してください。
(5)は積分のミスです。\(\int1/x^2dx=-1/x\) であって \(-1/x^2\) ではありません。次数が1つ下がることを忘れないでください。
本番で使える時間短縮テクニック
⏱️ 本番での進め方
① 接地導体＋点電荷を見たら鏡像法。対称位置に逆符号の電荷を置く
② 電荷と鏡像の距離は \(2x\)——2乗するので分母に4が出て \(16\pi\varepsilon_0\) になる
③ 力を積分して仕事を求める。\(\int1/x^2dx=-1/x\)（次数が1つ下がる）
④ 次元で選択肢を絞る——\(1/z^2\) の形は力であって仕事ではない
⑤ 検算は\(z\to h\) で \(W\to0\) になるか
💡 覚え方
「鏡に映すと距離は2倍」。高さhの電荷と深さhの鏡像——距離は \(2h\) です。2乗するので分母に4が掛かり、\(4\pi\to16\pi\) になります。ここが係数の分かれ目です。
⚠️ よくある間違い
鏡像との距離を \(h\) としてしまうのが最頻出のミスで、係数が4倍ずれて選択肢(2)に着地します。距離は \(2h\) です。また力の式のまま答える（選択肢(1)(4)）のも典型で、次元がJ/mになるので確認すれば防げます。
まとめ
| (a)電気力線 | 導体面に垂直に入る …(5) |
| 鏡像電荷 | 深さxに-Q（距離2x） |
| 力 F | Q2/(16πε0x2) |
| (b)仕事 W | (Q2/16πε0)(1/h−1/z) …(3) |
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