静電界10【電験3種 理論】空気と誘電体からなる平行平板電極の等電位線の分布！令和6年上期 A問題1 完全解説

今回は令和6年度上期 理論科目 A問題1を解説します。空気（比誘電率ε₁＝1、上側）と固体誘電体（比誘電率ε₂＝6、下側）からなる平行平板電極に電圧を加えたときの、電極間の等電位線の分布として正しい断面図を(1)〜(5)から選ぶ問題です。

ポイントは直列の複合誘電体では電束密度Dが一定で、電界E＝D/εは誘電率が小さい空気側で6倍大きいことです。等電位線は電界が強いほど密になるので、空気側（上側）で密、固体側（下側）で疎になります。

令和6年度上期 理論科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和6年度上期 A問題1

　図1に示すような、空気を含む二つの誘電体からなる平行平板電極がある。この下部電極を接地し、上部電極に電圧を加えたときの電極間の等電位線の分布を示す断面図として、正しいものを下の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、誘電体の導電性及び電極と誘電体の端効果は無視できるものとする。参考までに固体誘電体を取り除いた、空気中平行平板電極の場合の等電位線の分布を図2に示す。

出題のポイント：誘電率が小さい側ほど電界が強い

厚さ方向に重なる二つの誘電体では、境界に自由電荷がなければ電束密度Dが共通です。E＝D/εより、比誘電率1の空気側の電界は比誘電率6の固体側の6倍になります。

ポイント解説：等電位線の間隔は電界に反比例

空気（ε₁＝1）と固体誘電体（ε₂＝6）が縦に重なった直列の複合誘電体です。直列では電束密度Dが両層で一定で、電界はE＝D/εとなります。

誘電率が小さい空気側の電界は固体側の6倍です。等電位線は電界が強いほど密（間隔が狭い）になるので、上側の空気層で密、下側の固体層で疎になります。この分布を示すのは(5)です。

問題の解説：正しい等電位線分布

STEP1　各層の電界の比を求める

直列では電束密度Dが共通なので、電界はE＝D/εです。空気（ε₁＝1）と固体（ε₂＝6）の電界比は、

$$E_1:E_2=\frac{D}{\varepsilon_0}:\frac{D}{6\varepsilon_0}=6:1$$

空気側の電界は固体側の6倍で、電界が非常に強いことがわかります。

STEP2　等電位線の間隔を考える

等電位線は等しい電位差ΔVごとに描かれ、その間隔は電界に反比例します（間隔＝ΔV/E）。したがって電界が強い空気側（上側）で間隔が狭く（密）、固体側（下側）で広く（疎）なります。

STEP3　正しい断面図を選ぶ

上側（空気）で等電位線が密、下側（固体）で疎になっている図を選びます。これに該当するのは(5)です。上下で密度が一様な(1)（＝空気だけの図2に相当）や、密な部分が中央・下側にある図は誤りです。

したがって答えは(5)です。

答え：(5)（空気側で等電位線が密、固体側で疎）

まとめ

接続の種類	直列（縦積み）→D一定
電界の比 E1:E2	6：1（空気：固体）
等電位線の密度	空気側で密・固体側で疎
正しい断面図	(5)

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