静電界1【電験3種 理論】誘電体を挿入・引き出した平行板コンデンサの静電容量の比！令和7年下期 A問題1 完全解説

今回は令和7年度下期 理論科目 A問題1を解説します。一辺l〔m〕の正方形電極を間隔d〔m〕で配置した平行板コンデンサに、比誘電率ε_r＝5の誘電体を挿入した状態（図1）と、その誘電体を電極面積の半分だけ引き出した状態（図2）の静電容量の比C₁：C₂を求める計算問題です。

ポイントは、図2を「誘電体で満たされた部分」と「真空の部分」が横に並んだ2つのコンデンサの並列接続とみなすことです。平行板コンデンサの静電容量C＝ε_rε₀S/dを、面積を分けて足し合わせれば答えが求まります。

令和7年度下期 理論科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和7年度下期 A問題1

　真空中において、一辺l〔m〕の正方形電極を間隔d〔m〕で配置した平行板コンデンサがある。図1はこのコンデンサの電極板間に比誘電率ε_r＝5の誘電体を挿入した状態、図2は図1の誘電体を電極面積の1/2だけ引き出した状態を示している。図1及び図2の二つのコンデンサの静電容量C₁〔F〕及びC₂〔F〕の比（C₁：C₂）として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

　ただし、l≫dであり、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

（1）2：1　（2）3：2　（3）5：2　（4）5：3　（5）5：4

出題のポイント：面積で分かれた誘電体は並列

誘電体と真空が極板の面積方向に並ぶと、両部分には同じ極板間電圧が加わるため並列接続として扱います。厚さ方向に材料が積層する場合の直列接続と区別することが、この問題の中心です。

ポイント解説：2つの容量を式で比較

平行板コンデンサの静電容量はC＝ε_rε₀S/d（S：電極面積、d：極板間隔）で表せます。図1は電極間が丸ごと比誘電率5の誘電体で満たされた状態です。

図2のように誘電体を電極面積の半分だけ引き出すと、「誘電体で満たされた半分」と「真空の半分」が横に並びます。この2つは同じ極板間隔で並んだ別々のコンデンサ＝並列接続とみなせるので、静電容量は単純に足し合わせます。

問題の解説：共通因子を消して5：3

STEP1　図1の静電容量C₁を求める

電極面積はS＝l²、比誘電率ε_r＝5で電極間全体が満たされているので、$$C_1=\varepsilon_r\varepsilon_0\frac{l^2}{d}=5\varepsilon_0\frac{l^2}{d}\;[\mathrm{F}]$$

STEP2　図2を並列合成として静電容量C₂を求める

面積の半分（l²/2）が比誘電率5の誘電体、残り半分（l²/2）が真空（比誘電率1）です。それぞれの静電容量は、

$$C_{2\mathrm{a}}=5\varepsilon_0\frac{l^2/2}{d}=\frac{5\varepsilon_0 l^2}{2d},\quad C_{2\mathrm{b}}=\varepsilon_0\frac{l^2/2}{d}=\frac{\varepsilon_0 l^2}{2d}$$

並列なので合成すると、$$C_2=C_{2\mathrm{a}}+C_{2\mathrm{b}}=\frac{(5+1)\varepsilon_0 l^2}{2d}=3\varepsilon_0\frac{l^2}{d}\;[\mathrm{F}]$$

STEP3　比C₁：C₂を求める

$$C_1:C_2=5\varepsilon_0\frac{l^2}{d}:3\varepsilon_0\frac{l^2}{d}=5:3$$

したがって、最も近いのは(4) 5：3です。

答え：(4) 5：3

まとめ

図1（全体に誘電体）	C1＝5ε0l2/d
図2（半分引き出し）	C2＝3ε0l2/d（並列合成）
比 C1：C2	5：3 …(4)

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