自動制御18【電験3種機械】K・T付きフィードバック制御系のボード線図（折線近似）！令和5年度下期 A問題13 完全解説

2026年7月10日2026年8月4日

電験3種機械科目自動制御令和5年度下期 A問題13 折線近似で描くボード線図！正しいのはどれ？

今回は令和5年度下期機械科目 A問題13を解説します。比例要素Kと積分要素1/(jωT)を直列につないだフィードバック制御系の閉ループ周波数伝達関数W(jω)＝C(jω)/R(jω)について、そのボード線図の折線近似ゲイン特性を選ぶ問題です。

ブロック線図から等式を立ててW(jω)＝1/(1+jω(T/K))の形に整理すると、低域ゲイン0dB、折れ点角周波数K/T、高域で-20dB/decの下りという典型的な一次遅れ要素の折線近似になります。

令和5年度下期機械科目 A問題13：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種機械科目自動制御令和5年度下期 A問題13 問題文 — 令和5年度下期機械科目 A問題13 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和5年度下期第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題13

電験3種機械科目【自動制御】令和5年度下期 A問題13

　図に示すようなフィードバック制御系がある。閉ループ周波数伝達関数W(jω)=C(jω)/R(jω)のボード線図の折線近似ゲイン特性として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし，ωは角周波数[rad/s]を表す。

（1）折れ点1/Tで0dBから20log10Kの高さから下降開始（低域ゲイン20log10K，折れ点角周波数1/T，-20dB/dec）
（2）折れ点T/K，0dB水平線から下降（低域ゲイン0dB，折れ点T/K，-20dB/dec）
（3）折れ点T，20log10Kの高さから下降（低域ゲイン20log10K，折れ点T，-20dB/dec）
（4）折れ点K/T，0dB水平線から下降（低域ゲイン0dB，折れ点K/T，-20dB/dec）
（5）折れ点K/T，20log10Kの高さから下降（低域ゲイン20log10K，折れ点K/T，-20dB/dec）

出題のポイント：積分要素を閉じると一次遅れになる

比例K と積分1/(jωT) を直列にして、単位フィードバックで閉じる——この形は制御工学の最も基本的な構成です。

\( W(j\omega)=\dfrac{K\cdot\dfrac{1}{j\omega T}}{1+K\cdot\dfrac{1}{j\omega T}} \)

閉ループの公式
G/(1＋G)

\( \phantom{W(j\omega)}=\dfrac{K}{j\omega T+K} \)

分母分子に jωT を掛ける
—

\( \phantom{W(j\omega)}=\dfrac{1}{1+j\omega\dfrac{T}{K}} \)

分母の実部を1 にそろえる
★標準形に直す

結果は時定数 T/K の一次遅れ要素になりました。積分要素を負帰還で囲むと一次遅れになる——覚えておくと計算が速くなる形です。

読み取る項目	標準形から	ボード線図では
低域ゲイン	分子が1	★0 dB
時定数	T/K	—
折れ点角周波数	その逆数	★K/T
高域の傾き	一次遅れ	−20 dB/dec

比例要素Kと積分要素1/(jωT)を直列にした単位負帰還ブロック線図と閉ループ伝達関数 — 前向き経路は積分要素、閉ループ全体は一次遅れ要素です。

令和5年度下期機械A問題13、閉ループ伝達関数とボード線図の要点、正解は選択肢4 — 低域0 dB・折れ点K/T・高域－20 dB/decなので（4）です。

答え正解は (4) 低域0 dB、折れ点K/T、−20 dB/decです。分子が1 なのだから低域は必ず0 dB——K が分子に残らない点が最大の注意点です。

⚠️ よくある間違い
低域ゲインを20log₁₀K としている選択肢が3つあります——最も多い誤りです。開ループなら確かに K が効きますが、閉じたら分子が1 になる——ここが引っかけどころです。
折れ点を T/K としている(2)は逆数を取り忘れたもの。時定数が T/K なら折れ点はその逆数の K/Tです。
直流で考えれば低域ゲインは即座に分かります——ω→0 で積分要素のゲインが無限大、無限大を閉じれば1（＝0 dB）になるからです。

なぜ閉じると低域ゲインが0 dB になるのか

これは偶然ではなく、積分要素を含む制御系の重要な性質です。「定常偏差が0 になる」ということと同じ意味を持っています。

前向き要素	ω→0 でのゲイン	閉ループの低域ゲイン	定常偏差
比例のみ K	K（有限）	K/(1＋K)（1 より小さい）	★残る
積分を含む K/(jωT)	★無限大	1（＝0 dB）	★0

閉ループゲインが1 ということは、出力が入力とぴったり一致するということ——つまり定常偏差が0です。PID制御のI動作が定常偏差を消す理由が、ここでも確かめられます。

制御工学では、前向き経路に含まれる積分要素の数で「型」を分類します。0型は定常偏差が残り、1型はステップ入力に対して偏差0——本問は1型の制御系にあたります。

K を大きくするとどうなるか

折れ点角周波数が K/Tですから、K を大きくすると折れ点が高周波側へ動きます。

K	時定数 T/K	折れ点 K/T	応答
小さい	大きい	低い	遅い
大きい	小さい	★高い	速い

K を大きくすれば応答が速くなる——広い周波数帯域まで追従できるようになるからです。低域ゲインは0 dB のまま変わりません。

この構成では、K をいくら大きくしても不安定にはなりません——一次遅れは位相が90°までしか遅れないからです。実際の制御対象にはもっと多くの遅れがあるので、そこで K の上限が決まってくることになります。

⏱️ 本番での進め方
① 閉ループ公式 G/(1＋G) に G＝K/(jωT) を入れる。
② 整理すると 1/(1＋jωT/K)。★分子は1。
③ だから低域は0 dB。20log₁₀K ではない。
④ 時定数T/K の逆数＝折れ点K/T。

💡 覚え方
「積分を閉じると一次遅れ、低域は必ず0 dB」——分子が1 になるから。そして「時定数の逆数が折れ点」——T/K と K/T を取り違えないことです。

低域0デシベル、折れ点K/T、高域マイナス20デシベル毎デカードのボード線図折線近似 — 0 dBからK/Tで折れ、以後－20 dB/decで低下します。

ボード線図の折線近似はなぜ使えるのか

本問は「折線近似」のゲイン特性を選ぶ問題でした。なぜ曲線を直線で近似してよいのかを確認しておきましょう。

角周波数	正確な値	折線近似	誤差
ω＝0.1ω_c	−0.04 dB	0 dB	わずか
ω＝ω_c	−3.01 dB	0 dB	★最大3 dB
ω＝10ω_c	−20.04 dB	−20 dB	わずか

誤差が最大になるのは折れ点で、そこでも3 dB しかずれません——それ以外の周波数では誤差はもっと小さいのです。

3 dB は振幅で1.41倍（1/√2）——制御系の設計では十分な精度だと言えます。だから手描きでも設計の見当をつけられるのがボード線図の実用的な価値です。

折線近似なら、要素ごとの線を足し合わせるだけで全体が描けます。掛け算が足し算になる——これが対数目盛りを使う最大の理由です。

位相特性も同様に近似できます。0.1ω_c から 10ω_c にかけて直線的に0°から−90°へ——折れ点でちょうど−45°を通るという近似が使われます。

この構成が実際に使われる場面

比例＋積分を直列にして単位フィードバックで閉じる——これは速度制御や位置制御の基本形です。

制御対象	積分要素の正体	出力
位置制御	速度を積分すると位置	位置
速度制御	トルクを積分すると速度（慣性）	速度
タンクの液位	流量を積分すると液位	液位