自動制御13【電験3種 機械】進み-遅れ補償回路の時定数T1,T2,T3を求める！平成19年度 B問題17 完全解説

今回は平成19年度 機械科目 B問題17を解説します。抵抗RとキャパシタC1による一次遅れ回路（図1）の時定数T1を求める(a)と、そこにキャパシタC2を追加して過渡応答を改善した進み-遅れ補償回路（図2）の時定数T2，T3を求める(b)の問題です。

(a)は単純なRC分圧でT1＝C1Rを導きます。(b)はRとC2の並列インピーダンス、C1の並列インピーダンスの比から分圧式を作り、G(jω)＝(1+jωT3)/(1+jωT2)の形に整理してT2，T3を特定します。

平成19年度 機械科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【自動制御】 平成19年度 B問題17

　図1及び図2について，次の(a)及び(b)に答えよ。

（a）図1は，抵抗R[Ω]と静電容量C1[F]による一次遅れ要素の回路を示す。この回路の入力電圧に対する出力電圧の周波数伝達関数をG(jω)=1/(1+jωT1)として表したとき，T1[s]を示す式として，正しいのは次のうちどれか。ただし，入力電圧の角周波数はω[rad/s]である。

（1）T1=1/(C1R)　（2）T1=C1R　（3）T1=1+C1R　（4）T1=(1+C1R)/(C1R)　（5）T1=C1/(1+C1R)

（b）図2は，図1の回路の過渡応答を改善するために静電容量C2[F]を付加した回路を示す。この回路の周波数伝達関数をG(jω)=(1+jωT3)/(1+jωT2)で表したとき，T2[s]及びT3[s]を示す式として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

	T2	T3
(1)	C2R	C1R
(2)	C1R	C2R
(3)	(C1+C2)R	C2R
(4)	(1/C1+1/C2)R	C2R
(5)	C1R	(C1+C2)R

出題のポイント：C₂はRと並列、C₁は出力から接地

図1はR直列・C₁接地の一次遅れ回路です。図2ではC₂をRと並列に追加し、C₁の両端を出力とします。C₁とC₂の位置を正確に読んでから式を立てます。

ポイント解説：アドミタンスで分子・分母の時定数を読む

図1の単純なRC一次遅れ回路では、Cの両端電圧を出力として分圧計算を行うとG(jω)=1/(1+jωC1R)となり、時定数T1=C1Rが得られます。

図2はRに並列にC2を追加した「進み-遅れ補償回路」です。RとC2の並列インピーダンス、C1の並列インピーダンスの比から分圧式を作ると、G(jω)=(1+jωC2R)/(1+jω(C1+C2)R)という進み要素と遅れ要素が組み合わさった形になります。

問題の解説：(a)は（2）、(b)は（3）

STEP1　(a) 図1の周波数伝達関数を求める

$$E_o(j\omega)=\frac{1/(j\omega C_1)}{R+1/(j\omega C_1)}E_i(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega C_1R}E_i(j\omega)$$

G(jω)=1/(1+jωT1)と比較して、$$T_1=C_1R$$

これは選択肢(2)と一致します。

STEP2　(b) 図2の分圧式を立てる

RとC2は並列（アドミタンス1/R+jωC2）、その先にC1が並列に接続されているので、

$$E_o(j\omega)=\frac{\frac1R+j\omega C_2}{j\omega C_1+\frac1R+j\omega C_2}E_i(j\omega)$$

STEP3　式を整理してT2，T3を特定する

分母分子にRを掛けて整理すると、

$$G(j\omega)=\frac{1+j\omega C_2R}{1+j\omega(C_1+C_2)R}$$

G(jω)=(1+jωT3)/(1+jωT2)と比較して、$$T_2=(C_1+C_2)R,\quad T_3=C_2R$$

これは選択肢(3)と一致します。

答え：(a)-(2)，(b)-(3)

まとめ

(a) T1	C1R
(b) T2	(C1+C2)R
(b) T3	C2R
答え	(a)-(2)，(b)-(3)

▼あわせて解きたい関連問題
・調節計のブロック線図とCR回路（平成20年度）：【機械】平成20年度B問題17
・RC一次遅れ要素の折れ点角周波数とゲイン・位相特性：【機械】令和3年度A問題13