自動制御4【電験3種 機械】T,K付きブロック線図から周波数伝達関数とボード線図を求める！平成27年度 B問題17 完全解説

今回は平成27年度 機械科目 B問題17を解説します。T＝0.2s、K＝10としたフィードバック接続ブロック線図から、全体の周波数伝達関数W(jω)を求める(a)と、そのボード線図のゲイン特性を選ぶ(b)の2段構成です。

(a)は単位フィードバックの閉ループ公式でW(jω)＝K/(1+jωT)の形に整理します。(b)は低域ゲイン20log10K〔dB〕と折れ点角周波数1/T＝5〔rad/s〕の2点を読み取れば選択肢を絞り込めます。

平成27年度 機械科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【自動制御】 平成27年度 B問題17

　図に示すように，フィードバック接続を含んだブロック線図がある。このブロック線図において，T=0.2s，K=10としたとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし，ωは角周波数[rad/s]を表す。

（a）入力をR(jω)，出力をC(jω)とする全体の周波数伝達関数W(jω)として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）10/(1+j0.2ω)　（2）1/(1+j0.2ω)　（3）1/(1+j5ω)　（4）50ω/(1+j5ω)　（5）j2ω/(1+j0.2ω)

（b）(a)で求めた周波数伝達関数W(jω)のボード線図のゲイン特性として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。実線が正確な特性、破線が折線近似特性を表す。

（1）20dBから始まり折れ点角周波数ω=5で-20dB/decの下り
（2）20dBから始まり折れ点角周波数ω=0.2で-20dB/decの下り
（3）0dBから始まり折れ点角周波数ω=5で-20dB/decの下り
（4）0dBから始まり折れ点角周波数ω=0.2で-20dB/decの下り
（5）0dBから始まり折れ点角周波数ω=0.5で-20dB/decの下り

出題のポイント：K手前の分岐点に注意して閉ループ化

帰還信号は出力Cではなく、ゲインKの手前から分岐しています。したがって、まず積分要素1/(jωT)の単位負帰還を1/(1＋jωT)へまとめ、最後に直列のKを掛けます。

ポイント解説：低域20 dB・折れ点5 rad/sの一次遅れ

単位フィードバックを含むブロック線図の周波数伝達関数は、前向き伝達関数G(jω)を用いてW=G/(1+G)の閉ループ公式で求められます。

求めた伝達関数がK/(1+jωT)の一次遅れ形であれば、低域ゲインは20log10K〔dB〕、折れ点角周波数は1/T〔rad/s〕という関係を使ってボード線図を判定できます。

問題の解説：(a)も(b)も選択肢（1）

STEP1　(a) 閉ループ公式で周波数伝達関数を求める

前向き伝達関数は(1/jωT)×K、フィードバックは単位なので、

$$W(j\omega)=\frac{(1/j\omega T)K}{1+1/(j\omega T)}=\frac{K}{1+j\omega T}$$

STEP2　T=0.2s，K=10を代入する

$$W(j\omega)=\frac{10}{1+j0.2\omega}$$

これは選択肢(1)と一致します。

STEP3　(b) ゲイン特性を求める

$$|W(j\omega)|=\frac{10}{\sqrt{1+0.04\omega^2}},\quad g=20-10\log_{10}(1+0.04\omega^2)$$

ω≪5のとき g≈20dB（低域ゲイン20dB）、ω≫5のとき-20dB/decで下降します。

STEP4　折れ点角周波数を確認して選択肢を選ぶ

折れ点角周波数は1/T=1/0.2=5〔rad/s〕。低域20dB・折れ点ω=5・-20dB/decの下りという特性を満たすのは(1)です。

答え：(a)-(1)，(b)-(1)

まとめ

W(jω)	10/(1+j0.2ω)
低域ゲイン	20dB
折れ点角周波数	1/T=5 rad/s
答え	(a)-(1)，(b)-(1)

▼あわせて解きたい関連問題
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