単相交流3【電験3種理論】正弦波電流の瞬時値がある値になる時刻を求める！令和7年度上期 A問題8 完全解説

2026年7月12日2026年8月1日

電験3種理論科目電気回路（単相交流）令和7年度上期 A問題8 電流がその値になる瞬間！時刻は何msか？

今回は令和7年度上期理論科目 A問題8を解説します。電流i(t)＝4√2 sin(120πt) Aが、t＝0以降に初めて4 Aになる時刻t₁を求めます。同じ4 Aになる時刻が1周期に2回あるため、「最初」という条件まで確認することが大切です。

瞬時値の式へ4 Aを代入するとsin(120πt)＝1/√2です。最初の位相π/4から時刻を求め、周期T＝1/60 sによる別解、全選択肢の代入、波形の傾きでも検算します。

令和7年度上期理論科目 A問題8：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目単相交流令和7年度上期 A問題8 問題文 — 令和7年度上期理論科目 A問題8 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和7年度上期第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題8

電験3種理論科目【電気回路（単相交流）】令和7年度上期 A問題8

　ある回路に、i＝4√2 sin120πt〔A〕の電流が流れている。この電流の瞬時値が、時刻t＝0s以降に初めて4Aとなるのは、時刻t＝t₁〔s〕である。t₁〔s〕の値として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）1/120　（2）1/160　（3）1/240　（4）1/360　（5）1/480

出題のポイント：$4\sqrt2$ は最大値、$4$ は実効値

$i=4\sqrt2\sin120\pi t$ という式で、$4\sqrt2$ が最大値です。実効値はこれを $\sqrt2$ で割った $4\ \mathrm{A}$——つまり問題が聞いている「4 A」は、実効値と同じ数値の瞬時値です。

瞬時値が実効値と等しくなる瞬間を求めよ、という問題だと読み替えられます。$\sin$ の値が $1/\sqrt2$ になるとき——角度でいえば45°です。

正弦波電流の表し方

$$i=I_m\sin\omega t,\qquad I=\frac{I_m}{\sqrt2},\qquad \omega=2\pi f$$

※$\omega=120\pi$ なので $f=60\ \mathrm{Hz}$、周期 $T=1/60\ \mathrm{s}$ です。

「初めて」という条件が付いているのを見逃さないでください。$\sin$ の値が $1/\sqrt2$ になる角度は45°だけではありません——135°でも同じ値になります。最初に到達するのは45°のほうです。

正弦波電流i(t)=4√2sin(120πt)の最大値4√2A、実効値4A、60Hz、周期1/60秒と、4Aを通過する上昇側・下降側の2点を整理した出題のポイント図 — 最大値は4√2 A、実効値は4 Aです。4 Aを通る点は上昇中と下降中の2か所あるため、「t＝0以降に初めて」が重要です。この図では正答時刻を示していません。

解説：角度を求めてから時間に直す

$$4=4\sqrt2\sin120\pi t_1\ \Rightarrow\ \sin120\pi t_1=\frac{1}{\sqrt2}$$

❶ 瞬時値の式に代入
$4/(4\sqrt2)=1/\sqrt2$

$$120\pi t_1=\frac{\pi}{4}\quad(\text{最初の解})$$

❷ 角度を求める
45°

$$t_1=\frac{\pi/4}{120\pi}=\frac{1}{480}\ \mathrm{s}$$

❸ $\pi$ が約分される
$1/480\ \mathrm{s}$

❸で $\pi$ がきれいに約分されます。$\dfrac{1}{4}\div120=\dfrac{1}{480}$——電卓なしで暗算できる形です。

周期で確認すると分かりやすいです。$f=60\ \mathrm{Hz}$、$T=1/60\ \mathrm{s}$——$1/480=T/8$、つまり1周期の8分の1です。1周期が360°なので、その1/8は45°——ぴたりと合います。

単位円と正弦波を対応させ、sinθ=1/√2となるπ/4は最初の上昇側、3π/4は2回目の下降側であることを示すポイント解説図 — sinθ＝1/√2の解は第1象限のπ/4と第2象限の3π/4です。t＝0から位相が増えるので、最初は上昇中のπ/4です。

4√2sin(120πt)=4からsin=1/√2、120πt=π/4、t=1/480秒=2.083ミリ秒を位相法と周期法で導き、実効値と最大値も確認する詳細解説図 — 位相法ではt＝(π/4)/(120π)＝1/480 s、周期法では60 Hzの1周期T＝1/60 sの1/8として同じ結果になります。正答は(5)です。

全5選択肢を位相120πtへ戻して電流値を計算し、1/480秒だけが最初の上昇中の4Aであることを微分の符号でも確かめる問題の詳細解説図 — 1/160 sでも電流は4 Aですが、位相3π/4の2回目・下降中です。全選択肢の代入とdi/dtの符号から、最初は1/480 sと確認できます。

答え$t_1=\dfrac{1}{480}\ \mathrm{s}$　→　選択肢(5)

誤答の正体：(2)は「2回目」の時刻

本問は選択肢を代入して検算するのが速いです。各選択肢の時刻で電流がいくらになるかを並べてみましょう。

選択肢	$t$〔s〕	角度 $120\pi t$	$i=4\sqrt2\sin$〔A〕	判定
(1)	$1/120$	180°	0	×
(2)	$1/160$	135°	4	△（2回目）
(3)	$1/240$	90°	$4\sqrt2\fallingdotseq5.66$	×（最大値）
(4)	$1/360$	60°	4.90	×
(5)	$1/480$	45°	4	◎（初めて）

(2)の $1/160$ でも電流はちょうど4 Aになります。ところが角度は135°で、45°より後——「初めて」という条件を満たしません。最も巧妙な引っかけです。

(3)の $1/240$ は角度90°で、電流が最大値 $4\sqrt2\fallingdotseq5.66\ \mathrm{A}$ になる時刻です。$4\sqrt2$ と $4$ を取り違えた人が選ぶようになっています。

☝️ ひっかけの作り方：「初めて」「最初に」という語には必ず反応してください。$\sin\theta=1/\sqrt2$ の解は $\theta=45^\circ,135^\circ,405^\circ,\ldots$ と無数にあります。最小の正の解を選ぶのが答えです。

⚠️ よくある間違い
$4\sqrt2$ を実効値だと思ってしまうと、最大値は $8\ \mathrm{A}$ となり、$\sin=1/2$、角度30°、$t=1/720$——選択肢にありません。$\sin$ の前の係数は常に最大値です。

深掘り①：最大値・実効値・平均値を整理する

正弦波には3つの「代表値」があります。混同すると計算が丸ごと狂うので、関係を押さえておきましょう。

名称	記号	正弦波での値	意味
最大値	$I_m$	$I_m$	波形の頂点
実効値	$I$	$I_m/\sqrt2\fallingdotseq0.707I_m$	同じ熱を出す直流の値
平均値	$I_a$	$2I_m/\pi\fallingdotseq0.637I_m$	半周期の平均

実効値の定義は「二乗平均平方根」です。抵抗で消費される電力 $i^{2}R$ の平均が $I^{2}R$ になるように決められています——だから「同じ熱を出す直流の値」という意味になります。

$$\overline{i^{2}}=\overline{I_m^{2}\sin^{2}\omega t}=I_m^{2}\times\frac{1}{2}$$

❶ $\sin^{2}$ の平均は $1/2$

$$I=\sqrt{\overline{i^{2}}}=\frac{I_m}{\sqrt2}$$

❷ 平方根を取る
$\sqrt2$ の正体

$\sin^{2}\theta$ の平均が $1/2$ になるのは、$\sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$ と変形すれば分かります。$\cos2\theta$ の平均はゼロなので、$1/2$ だけが残ります。

「$\sqrt2$ はどこから来たのか」が説明できるようになると、ひずみ波の実効値や計測分野の波形率・波高率も自然につながります。

深掘り②：位相と時間の変換に慣れる

交流の問題では「角度」と「時間」を行き来します。変換の関係を体に入れておくと、計算が速くなります。

角度と時間の対応

$$\theta=\omega t=2\pi f t,\qquad t=\frac{\theta}{2\pi f}=\frac{\theta}{2\pi}T$$

※1周期 $T$ が $2\pi$（360°）に対応します。角度を360°で割った割合に $T$ を掛けるだけです。

角度	周期に対する割合	60 Hzでの時間	$i=4\sqrt2\sin\theta$
30°	$T/12$	1/720 s	2.83 A
45°	$T/8$	1/480 s	4.00 A ★
60°	$T/6$	1/360 s	4.90 A
90°	$T/4$	1/240 s	5.66 A（最大）
135°	3$T/8$	1/160 s	4.00 A
180°	$T/2$	1/120 s	0

この表を見れば、5つの選択肢すべてが「特徴的な角度」に対応していることが分かります。作問者は角度を先に決めて、それを時間に直して選択肢にしたわけです。

逆に言えば、選択肢の分母（120・160・240・360・480）から角度を逆算するのが最速です。$120\pi t=\theta$ より $\theta=120\pi/480\times180/\pi=45^\circ$——暗算で確かめられます。

深掘り③：$\omega=120\pi$ が意味するもの

$\omega=120\pi$ を見た瞬間に「60 Hzだ」と分かるようにしておきましょう。電験3種では50 Hzと60 Hzが頻出です。

周波数	$\omega=2\pi f$	数値	周期
50 Hz	$100\pi$	約314 rad/s	20 ms
60 Hz	$120\pi$	約377 rad/s	約16.7 ms

314と377という数字は、リアクタンスの計算で頻繁に出てきます。$\omega L$ や $1/(\omega C)$ を計算するとき、この2つは覚えておくと速いです。

本問では $\pi$ が約分されて消えるので、314や377を使う必要はありません。$\pi$ を残したまま計算するほうがきれい——数値に直すのは最後の最後という鉄則が生きる場面です。

⏱️ 本番での進め方
❶ $\sin$ の前の係数は最大値——実効値はその $1/\sqrt2$。
❷ 「初めて」に反応——$\sin\theta=1/\sqrt2$ の解は45°と135°の2つある。
❸ $\pi$ は約分される——数値に直さず分数のまま進める。
❹ 選択肢を代入して検算——本問は5秒で確かめられる。

💡 覚え方
「実効値と同じ瞬時値になるのは45°」——$\sin45^\circ=1/\sqrt2$ だから当然です。1周期の1/8の時刻と覚えておけば、周波数が変わっても即答できます。

出題履歴：瞬時値と時刻の問題は基本の確認

瞬時値の式から時刻を求める問題は、交流の基礎が身についているかを問うものです。最大値と実効値の区別、角度と時間の変換——この2点さえ確実なら得点源になります。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

あわせて解いておきたい記事：【理論】令和5年度下期A問題9（ひずみ波の電力と実効値）

まとめ

波形の定数	I_m＝4√2 A、I＝4 A、f＝60 Hz、T＝1/60 s
目標値	sin(120πt)＝1/√2
1回目の位相	120πt₁＝π/4（上昇中）
2回目の位相	120πt＝3π/4 → 1/160 s（下降中、条件外）
令和7年度上期の答え	t₁＝1/480 s＝約2.083 ms …(5)