三相交流7【電験3種理論】三相負荷の力率と抵抗値を無効電力・有効電力から求める！令和4年度上期 B問題15 完全解説

2026年7月13日2026年8月1日

電験3種理論科目電気回路（三相交流）令和4年度上期 B問題15 有効電力と無効電力がヒント！力率と抵抗を割り出す

今回は令和4年度上期理論科目 B問題15を解説します。X＝9Ωのコイル3個とR・20Ω・20Ω・60Ωの抵抗からなる三相負荷で、(a)線電流7.7A・無効電力1.6kvarのときの力率と(b)a相のRを求めるB問題です。

(a)無効電力Q＝√3·V·I·sinφからsinφを求め、cosφ＝√(1−sin²φ)。(b)Δ結線の抵抗(20,20,60)をY変換し、有効電力P＝(R+R_a+R_b+R_c)I²からRを求めます。

令和4年度上期理論科目 B問題15：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目三相交流令和4年度上期 B問題15 問題文 — 令和4年度上期理論科目 B問題15 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和4年度上期第三種電気主任技術者試験」理論科目 B問題15

電験3種理論科目【電気回路（三相交流）】令和4年度上期 B問題15

　図のように、線間電圧200Vの対称三相交流電源に、三相負荷として誘導性リアクタンスX＝9Ωの3個のコイルとR〔Ω〕、20Ω、20Ω、60Ωの4個の抵抗を接続した回路がある。端子a,b,cから流入する線電流の大きさは等しいものとする。この回路について、次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）三相負荷の力率の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）0.5　（2）0.6　（3）0.7　（4）0.8　（5）1.0

（b）a相に接続されたRの値〔Ω〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）4　（2）8　（3）12　（4）40　（5）80〔Ω〕

出題のポイント：「線電流が等しい」＝各相のインピーダンスが等しい

抵抗が $R$・20 Ω・20 Ω・60 Ω と4個あり、しかも値がバラバラ——一見すると不平衡回路に見えます。ところが問題文は「線電流の大きさは等しい」と指定しています。

これは「平衡している」という条件です。つまり各相のインピーダンスが等しくなるように $R$ が選ばれている——その $R$ を求めよ、というのが (b) です。

Δ→Y変換（不平衡でも使える一般形）

$$R_a=\frac{R_{ab}R_{ca}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}$$

※分子は「その端子につながる2辺の積」、分母は「3辺の和」。平衡なら $R_\Delta/3$ になります。

Δ結線の抵抗は20 Ω・60 Ω・20 Ωです。これをY結線に変換すれば、各相の抵抗成分が見えます。不平衡なΔでも変換公式は使えるのがポイントです。

無効電力から力率を求め不平衡デルタ負荷をスター変換して未知抵抗を求める解法の見取り図 — 電力三角形で力率を求め、Δ→Y変換後の各相インピーダンスからRを決めます。

(b) の解説：Δ→Y変換で各相をそろえる

$$R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}=20+60+20=100$$

❶ 3辺の和
分母になる

$$R_a=\frac{20\times20}{100}=4\ \Omega$$

❷ a端子
a につながる2辺 $R_{ab},R_{ca}$

$$R_b=\frac{20\times60}{100}=12\ \Omega,\qquad R_c=\frac{60\times20}{100}=12\ \Omega$$

❸ b・c端子
どちらも12 Ω

$$R+4=12\ \Rightarrow\ R=8\ \Omega$$

❹ a相をそろえる

b相とc相はすでに12 Ωで等しいので、a相も12 Ωにすればよい——Y変換後のa端子が4 Ωなので、外付けの $R$ は8 Ωです。

コイル $X=9\ \Omega$ は3相とも同じなので、抵抗成分だけをそろえればインピーダンスが等しくなります。各相は $12+j9$、大きさ15 Ωです。

三相皮相電力2.667キロボルトアンペアと無効電力1.6キロバールから力率0.8を二通りで導出 — Q/S=0.6より力率は0.8で、問15(a)の正解は（4）です。

答え(b) $R=8\ \Omega$　→　選択肢(2)

(a) の解説：各相の抵抗とリアクタンスから力率を出す

平衡していると分かれば、力率は1相分で計算できます。各相は $12+j9$ ですから、力率は抵抗をインピーダンスで割るだけです。

$$|\dot Z|=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}=15\ \Omega$$

❶ インピーダンス
3:4:5 の3倍

$$\cos\phi=\frac{R}{|\dot Z|}=\frac{12}{15}=0.8$$

❷ 力率

12:9:15 は 4:3:5 の3倍です。3:4:5 の直角三角形が、ここでも姿を見せます——電験で $\sqrt{12^{2}+9^{2}}$ を筆算する必要はありません。

力率は $R/|\dot Z|$ であって $R/X$ ではないことを再確認してください。$12/9=1.33$ は力率になり得ません（1を超えるため）。

デルタ抵抗20オーム20オーム60オームをスター抵抗4オーム12オーム12オームへ変換する公式と対応図 — Δ→Y変換により、a側は4Ω、b・c側は各12Ωになります。

各相の直列インピーダンスを等置して未知抵抗R=8オームを導出し検算 — a相の抵抗成分を12Ωへそろえるため、R=8Ωとなります。

R=8オームを代入して線電流7.70アンペアと無効電力1.6キロバールを再現する最終検算 — 元条件を再現でき、最終答案は(a)（4）、(b)（2）です。

答え(a) $\cos\phi=0.8$　→　選択肢(4)

誤答の正体：Δ→Y変換をしないとどこで詰まるか

選択肢 (b)	$R$〔Ω〕	どんな誤りか
(1)	4	Y変換後のa端子4 Ωをそのまま答える
(2)	8	正解
(3)	12	そろえたい12 Ωをそのまま答える
(4)	40	Δのまま20+20 と考える
(5)	80	ダミー

(1)と(3)は「途中の値をそのまま答える」誤りです。4 Ωは変換後のa端子の抵抗、12 Ωはそろえたい目標値——求めるのは外付けする $R$ なので、その差の8 Ωです。

(a)の力率で(1)0.5を選ぶ人は、$\cos\phi=\dfrac{9}{…}$ のように抵抗とリアクタンスを取り違えている可能性があります。力率は必ず「抵抗÷インピーダンス」です。

⚠️ よくある間違い
Δ→Y変換の分子は「その端子につながる2辺の積」です。a端子には $R_{ab}=20$ と $R_{ca}=20$ がつながっているので、$20\times20/100=4$。60 Ωは使いません——どの2辺かを図で確認してください。

☝️ ひっかけの作り方：「線電流の大きさは等しい」を見落とすと、この問題は解けません。不平衡回路として真面目に解こうとすると、大変な計算になります。問題文の条件文は必ずヒントです。

深掘り①：Δ→Y変換の公式を導いておく

公式を丸暗記するより、成り立ちを知っておくと忘れません。「端子から見た抵抗が等しくなる」という条件から導けます。

Δ結線でa-b端子間を見ると、$R_{ab}$ と「$R_{bc}+R_{ca}$」の並列です。Y結線では $R_a+R_b$——この2つが等しいという式を3組立てて連立します。

$$R_a+R_b=\frac{R_{ab}(R_{bc}+R_{ca})}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}$$

❶ a-b端子間

$$R_b+R_c=\frac{R_{bc}(R_{ca}+R_{ab})}{\sum R},\quad R_c+R_a=\frac{R_{ca}(R_{ab}+R_{bc})}{\sum R}$$

❷ 残り2組

$$R_a=\frac{R_{ab}R_{ca}}{\sum R}$$

❸ 連立して解く
公式の完成

平衡の場合（3辺とも $R_\Delta$）は $R_Y=\dfrac{R_\Delta^{2}}{3R_\Delta}=\dfrac{R_\Delta}{3}$——おなじみの $1/3$ になります。一般形を覚えておけば、不平衡でも対応できます。

変換	式	覚え方
Δ→Y	$R_a=\dfrac{R_{ab}R_{ca}}{\sum R}$	隣り合う2辺の積÷全体の和
Y→Δ	$R_{ab}=\dfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c}$	2個ずつの積の和÷向かいの辺
平衡なら	$R_Y=R_\Delta/3$	Y は $1/3$、Δ は3倍

深掘り②：この回路の電力と電流を求めてみる

問題では問われていませんが、電流と電力まで出しておくと回路の姿がつかめます。

$$I_l=\frac{200/\sqrt3}{15}\fallingdotseq7.70\ \mathrm{A}$$

❶ 線電流
Y等価で計算

$$P=3I_l^{2}\times12=3\times59.3\times12\fallingdotseq2133\ \mathrm{W}$$

❷ 有効電力

$$Q=3I_l^{2}\times9\fallingdotseq1600\ \mathrm{var}$$

❸ 無効電力

$$S=\sqrt3\,V_lI_l=\sqrt3\times200\times7.70\fallingdotseq2667\ \mathrm{V\!\cdot\!A}$$

❹ 皮相電力

力率を検算すると $P/S=2133/2667=0.80$——(a)の答えと一致します。電力の三角形からも力率が確認できるのは心強いところです。

$P:Q:S=2133:1600:2667$ は $4:3:5$ の比です。インピーダンス三角形 $12:9:15$ と相似——電力三角形とインピーダンス三角形は常に相似になります。

深掘り③：不平衡に見える回路の見抜き方

電験3種では原則として平衡回路しか出ません。一見不平衡に見えても、必ず平衡になる仕掛けがあります。

見た目	実際は	対処
Δの抵抗値がバラバラ	Y変換すると一部が等しい	変換してから比べる
1相だけ素子が違う	「線電流が等しい」条件がある	等しいと置いて解く
YとΔが混在	それぞれは平衡	別々に計算して足す

本問は1番目と2番目の合わせ技です。Δの抵抗がバラバラでも、Y変換するとb・c相が等しくなる——あとはa相をそろえるだけという構成でした。

問題文に「等しいものとする」「平衡である」と書いてあったら、それは計算を楽にするための条件です。素直に使いましょう。

⏱️ 本番での進め方
❶ 「線電流が等しい」＝各相インピーダンスが等しい——この読み替えが出発点。
❷ Δ→Y変換は「隣り合う2辺の積÷3辺の和」——不平衡でも使える。
❸ 求めるのは外付けする $R$——変換後の値をそのまま答えない。
❹ $12:9:15$ は $4:3:5$——力率0.8が即座に出る。

💡 覚え方
Δ→Y変換は「分母が3辺の和」——平衡なら $3R_\Delta$ だから $R_\Delta/3$ と自然につながります。一般形さえ覚えれば、平衡の $1/3$ は暗記不要です。