三相交流10【電験3種理論】三つの定電圧源とスイッチS1・S2の交流回路！平成30年度 B問題15 完全解説

2026年7月13日2026年8月4日

電験3種理論科目電気回路（三相交流）平成30年度 B問題15 スイッチ2つで回路が変わる！3電源の電流を追う

今回は平成30年度理論科目 B問題15を解説します。実効値100V・位相が2π/3ずつ遅れる三つの定電圧源Ėa・Ėb・Ėcに、スイッチS1・S2とR1＝10Ω・R2＝20Ωを接続した回路で、(a)S1だけを閉じたときR1に流れる電流I1と(b)S2だけを閉じたときR2で消費される電力を求めるB問題です。

ポイントは各抵抗にかかる電圧を「両端の電源電位の差」で捉えること。R1にはĖb−Ėc（大きさ√3×100≒173V）、R2にはĖa+Ėb−Ėcが加わる。対称三相ではĖa+Ėb+Ėc＝0なのでĖa+Ėb−Ėc＝−2Ėc（大きさ200V）となります。

平成30年度理論科目 B問題15：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目三相交流平成30年度 B問題15 問題文 — 平成30年度理論科目 B問題15 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成30年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 B問題15

電験3種理論科目【電気回路（三相交流）】平成30年度 B問題15

　図のように、起電力Ėa〔V〕、Ėb〔V〕、Ėc〔V〕をもつ三つの定電圧源に、スイッチS1、S2、R1＝10Ω及びR2＝20Ωの抵抗を接続した交流回路がある。Ėa、Ėb、Ėcの正の向きはそれぞれ図の矢印のようにとり、これらの実効値は100V、位相はĖa、Ėb、Ėcの順に2π/3〔rad〕ずつ遅れているものとする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）スイッチS2を開いた状態でスイッチS1を閉じたとき、R1〔Ω〕の抵抗に流れる電流I1の実効値〔A〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）0　（2）5.77　（3）10.0　（4）17.3　（5）20.0〔A〕

（b）スイッチS1を開いた状態でスイッチS2を閉じたとき、R2〔Ω〕の抵抗で消費される電力〔W〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）0　（2）500　（3）1 500　（4）2 000　（5）4 500〔W〕

出題のポイント：抵抗の両端の節点を特定する

三相の電源が3つありますが、これは通常の三相回路ではありません。スイッチで一部だけをつなぐので、「どの起電力が抵抗にかかるのか」を回路図から読み取るのが本質です。

公式を当てはめる問題ではありません。抵抗の左端と右端がどの節点につながっているかを確認し、その2点間の電位差を求める——それだけです。

対称三相起電力の性質

$$\dot E_a+\dot E_b+\dot E_c=0,\qquad |\dot E_a-\dot E_b|=\sqrt3\,E$$

※120°離れた同じ大きさのベクトルの差は $\sqrt3$ 倍。3つの和はゼロ——この2つで解けます。

$E=100\ \mathrm{V}$ なので、2つの起電力の差は $\sqrt3\times100\fallingdotseq173\ \mathrm{V}$ です。この173という数字が (a) の鍵になります。

三つの100ボルト交流電源の節点電位を読み、S1だけを閉じたR1電流とS2だけを閉じたR2消費電力を求める全体像 — R1はĖb−Ėcから17.3A、R2はĖa+Ėb−Ėc＝−2Ėcから2000Wを導きます。

(a) の解説：$R_1$ にかかるのは $\dot E_b-\dot E_c$

スイッチ $S_1$ を閉じると、$R_1$ は $\dot E_b$ と $\dot E_c$ の間に入ります。したがって $R_1$ にかかる電圧は $\dot E_b-\dot E_c$——線間電圧に相当する量です。

$$\dot E_b=100\angle-120^\circ,\quad \dot E_c=100\angle-240^\circ$$

❶ 2つの起電力
120°離れている

$$|\dot E_b-\dot E_c|=\sqrt3\times100\fallingdotseq173.2\ \mathrm{V}$$

❷ ベクトルの差
$\sqrt3$ 倍

$$I_1=\frac{173.2}{10}\fallingdotseq17.3\ \mathrm{A}$$

❸ オームの法則

❷は成分計算でも確かめられます。$\dot E_b=100(-0.5-j0.866)$、$\dot E_c=100(-0.5+j0.866)$ なので、差は $-j173.2$——大きさ173.2 Vです。

「120°離れた2つのベクトルの差は $\sqrt3$ 倍」——Y結線で線間電圧が相電圧の $\sqrt3$ 倍になるのと同じ原理です。本問は結線ではありませんが、幾何は同じです。

共通0ボルトを基準に節点AをĖa+Ėb、BをĖb、CをĖcと定め、抵抗の両端電位差と対称三相フェーザの和を説明する解説 — Ėaの下端は0Vではなく節点Bなので、R2の左端Aの電位はĖa+Ėbです。

答え(a) $I_1\fallingdotseq17.3\ \mathrm{A}$　→　選択肢(4)

(b) の解説：3つの起電力の和がゼロを使う

スイッチ $S_2$ を閉じると、$R_2$ には $\dot E_a+\dot E_b-\dot E_c$ がかかります。3つの起電力が絡むので、一見すると複雑です。

$$\dot E_a+\dot E_b+\dot E_c=0\ \Rightarrow\ \dot E_a+\dot E_b=-\dot E_c$$

❶ 対称三相の性質
これが決め手

$$\dot E_a+\dot E_b-\dot E_c=-\dot E_c-\dot E_c=-2\dot E_c$$

❷ 代入
驚くほど簡単に

$$|{-2\dot E_c}|=2\times100=200\ \mathrm{V}$$

❸ 大きさ

$$P=\frac{V^{2}}{R_2}=\frac{200^{2}}{20}=2000\ \mathrm{W}$$

❹ 消費電力

❶の $\dot E_a+\dot E_b+\dot E_c=0$ を使うのがこの問題の妙です。3つのベクトルを地道に足す必要はありません——対称三相なら和はゼロという一行で片づきます。

結果として $R_2$ には200 Vという「起電力の2倍」がかかります。$\dot E_a+\dot E_b$ が $-\dot E_c$ と同じ向き・同じ大きさなので、そこから $\dot E_c$ を引くとちょうど2倍になるのです。

ĖbとĖcを複素数表示して差をマイナスj173.2ボルトと求め、10オームのR1電流17.3アンペアを導く解説 — 120度離れた100V同士のフェーザ差は√3×100Vで、R1電流は17.3A、選択肢(4)です。

R2が節点AとCを結ぶことを節点電位ラダーで示し、対称三相の和から電圧200ボルト、電流10アンペア、消費電力2000ワットを求める解説 — Ėa+Ėb＝−ĖcよりR2電圧は−2Ėcで、大きさ200V、消費電力2000Wです。

S1だけを閉じた場合はBとC間のR1、S2だけを閉じた場合はAとC間のR2として、節点電位、電流式、電力式と最終回答を比較するまとめ — 閉じたスイッチ、抵抗の両端節点、フェーザ差の順に確認すると、両小問とも選択肢(4)です。

答え(b) $P=2000\ \mathrm{W}$　→　選択肢(4)

誤答の正体：かかる電圧を取り違える

$R_2$ にかかる電圧	$P=V^{2}/20$〔W〕	選択肢	どんな誤りか
100 V	500	(2)	1つの起電力だけと考える
$\sqrt3\times100=173$ V	1500	(3)	(a) と同じ形と誤る
200 V（正しい）	2000	(4)	正解
300 V	4500	(5)	3つを単純に足す

(3)1500 Wが最も紛らわしい誤答です。(a) で $\sqrt3$ 倍を使ったので、(b) でも同じだろうと思い込む——ところが (b) は3つの起電力が絡むので、答えは2倍になります。

(5)4500 Wは、3つの起電力を単純に足して300 Vとした場合です。ベクトルは代数的には足せません——対称三相なら和はゼロです。

⚠️ よくある間違い
回路図で「抵抗の左端と右端がどの節点か」を必ず確認してください。$\dot E_a$ の下端が0 Vとは限りません——本問では別の起電力につながっているので、電位を順にたどる必要があります。

☝️ ひっかけの作り方：(a) と (b) で答えが両方とも選択肢(4)という珍しい問題です。「同じ番号が続くのはおかしい」と思って直す必要はありません——正答番号の分布に決まりはないのです。

深掘り①：$\dot E_a+\dot E_b+\dot E_c=0$ はなぜ成り立つか

対称三相の起電力の和がゼロになる——これは三相交流のあらゆる性質の根っこです。確かめておきましょう。

$$\dot E_a=E\angle0^\circ=E(1+j0)$$

❶ a相

$$\dot E_b=E\angle-120^\circ=E(-0.5-j0.866)$$

❷ b相

$$\dot E_c=E\angle-240^\circ=E(-0.5+j0.866)$$

❸ c相

$$\text{和}=E\{(1-0.5-0.5)+j(0-0.866+0.866)\}=0$$

❹ 合計
実部も虚部もゼロ

3つのベクトルが正三角形を閉じる——だから和がゼロです。この性質から「中性線に電流が流れない」「第3高調波以外は打ち消し合う」など、多くの結論が導かれます。

本問ではこの性質が計算を劇的に短縮しました。$\dot E_a+\dot E_b$ を成分計算するより、$-\dot E_c$ と置き換えるほうがはるかに速い——知っているかどうかで差がつきます。

深掘り②：120°離れたベクトルの和と差

三相の計算では「2つのベクトルの和」と「差」が繰り返し出てきます。どちらも $\sqrt3$ 倍になるのですが、向きが違います。

演算	大きさ	向き	本問での例
$\dot E_b-\dot E_c$	$\sqrt3E$	両者の中間から90°ずれる	(a) の173 V
$\dot E_a+\dot E_b$	$E$	$-\dot E_c$ と同じ	(b) で使用
$\dot E_a+\dot E_b-\dot E_c$	$2E$	$-\dot E_c$ の向き	(b) の200 V

「差は $\sqrt3$ 倍、120°離れた2つの和は元と同じ大きさ」——この2つを覚えておくと、三相のベクトル計算がぐっと楽になります。

和が元と同じ大きさになる理由は、$\dot E_a+\dot E_b=-\dot E_c$ だから。大きさは $|\dot E_c|=E$ です。正三角形の性質そのものと言えます。

深掘り③：回路図の読み取りを確実にする手順

本問のような「変則的な接続」の問題では、回路図の読み取りがすべてです。手順を決めておきましょう。

手順	やること
❶	閉じているスイッチを確認し、開いている枝を消す
❷	求める抵抗の両端に印をつけ、節点名をつける
❸	一方の節点から他方へ、起電力をたどりながら電位差を書く
❹	矢印の向きに沿うなら＋、逆らうなら−
❺	対称三相の性質（和がゼロ、差は $\sqrt3$ 倍）で整理

❹の符号が最も間違えやすいところです。問題文に「正の向きは図の矢印」と明記されているので、その向きに沿って進むときはプラス、逆行するときはマイナスと決めて進みます。

本問の (b) では $\dot E_a$ と $\dot E_b$ には順行、$\dot E_c$ には逆行——だから $\dot E_a+\dot E_b-\dot E_c$ になります。符号を1つ間違えると答えが変わります。

⏱️ 本番での進め方
❶ 抵抗の両端の節点を特定する——公式の当てはめではない。
❷ 120°離れた2つの差は $\sqrt3$ 倍——(a) の173 V。
❸ $\dot E_a+\dot E_b+\dot E_c=0$ を積極的に使う——(b) が一気に片づく。
❹ 矢印に順行なら＋、逆行なら−——符号を機械的に決める。

💡 覚え方
「対称三相の和はゼロ」——三相で最も強力な武器です。3つのうち2つの和を見たら、残り1つの符号を変えたものに置き換える——それだけで計算量が激減します。