三相交流18【電験3種理論】線路インダクタンス付きY-R・Δ-C負荷の力率1条件を求める！平成23年度 B問題15 完全解説

2026年7月13日2026年8月4日

電験3種理論科目電気回路（三相交流）平成23年度 B問題15 線路にLがある回路！力率1になる条件を導く

今回は平成23年度理論科目 B問題15を解説します。R〔Ω〕の抵抗、C〔F〕のコンデンサ、L〔H〕のコイルからなる平衡三相負荷に線間電圧V〔V〕の対称三相電源を接続した回路（角周波数ω）で、(a)電源からみた力率が1になるLとCの関係式と(b)そのときのコンデンサCの端子電圧を求めるB問題です。

Δ接続のコンデンサCをY等価（3C）に変換し、1相分のインピーダンスを組み立てます。Z＝jωL+R/(1+j3ωCR)。力率1は虚部＝0の条件から。(b)のコンデンサ端子電圧は負荷端の線間電圧で、相電圧の√3倍になります。

平成23年度理論科目 B問題15：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目三相交流平成23年度 B問題15 問題文 — 平成23年度理論科目 B問題15 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成23年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 B問題15

電験3種理論科目【電気回路（三相交流）】平成23年度 B問題15

　図のように、R〔Ω〕の抵抗、静電容量C〔F〕のコンデンサ、インダクタンスL〔H〕のコイルからなる平衡三相負荷に線間電圧V〔V〕の対称三相交流電源を接続した回路がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし、交流電源電圧の角周波数はω〔rad/s〕とする。

（a）三相電源からみた平衡三相負荷の力率が1になったとき、インダクタンスL〔H〕のコイルと静電容量C〔F〕のコンデンサの関係を示す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）L＝3C²R²/{1+9(ωCR)²}
（2）L＝3CR²/{1+9(ωCR)²}
（3）L＝3C²R/{1+9(ωCR)²}
（4）L＝9CR²/{1+9(ωCR)²}
（5）L＝R/{1+9(ωCR)²}

（b）平衡三相負荷の力率が1になったとき、静電容量C〔F〕のコンデンサの端子電圧〔V〕の値を示す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）√3V√{1+9(ωCR)²}
（2）V√{1+9(ωCR)²}
（3）V√{1+9(ωCR)²}/√3
（4）√3V/√{1+9(ωCR)²}
（5）V/√{1+9(ωCR)²}

出題のポイント：Δ接続の $C$ はY換算すると $3C$

すべて記号のまま答えさせる問題です。数値が一切出てこないので、式変形の正確さだけが問われます。

回路は「線路インダクタンス $L$」＋「Y接続の抵抗 $R$」＋「Δ接続のコンデンサ $C$」という構成です。Δの $C$ をY換算すると $3C$ になる——ここが最初の関門です。

Δ→Y変換：コンデンサだけ逆になる

$$\text{インピーダンス}：Z_Y=\frac{Z_\Delta}{3}\quad\Rightarrow\quad \text{静電容量}：C_Y=3C_\Delta$$

※$Z_C=1/(j\omega C)$ が $1/3$ になる＝$C$ が3倍。抵抗やコイルとは逆向きです。

選択肢に $9(\omega CR)^{2}$ という形が並んでいるのがヒントです。$9=3^{2}$——Y換算で $3C$ になったものが二乗された結果だと分かります。

三相回路のデルタ接続コンデンサCを等価なY接続の容量3Cへ換算し、相電圧V割るルート3、線路インダクタンスL、抵抗Rと容量3Cの並列負荷からなる1相等価回路を示す解説 — 平衡Δ接続の各コンデンサCはY換算で3Cです。1相負荷はRと3Cの並列となり、Z_load＝R/(1＋j3ωCR)です。

(a) の解説：1相の負荷インピーダンスを作る

$$\dot Y_{\text{負荷}}=\frac{1}{R}+j3\omega C=\frac{1+j3\omega CR}{R}$$

❶ アドミタンスで足す
$C$ はY換算で $3C$

$$\dot Z_{\text{負荷}}=\frac{R}{1+j3\omega CR}=\frac{R(1-j3\omega CR)}{1+9(\omega CR)^{2}}$$

❷ 逆数を取って有理化

$$\dot Z_{\text{全体}}=j\omega L+\frac{R}{1+9(\omega CR)^{2}}-j\frac{3\omega CR^{2}}{1+9(\omega CR)^{2}}$$

❸ 線路と直列

$$\omega L=\frac{3\omega CR^{2}}{1+9(\omega CR)^{2}}\ \Rightarrow\ L=\frac{3CR^{2}}{1+9(\omega CR)^{2}}$$

❹ 虚部＝0
$\omega$ が消える

❷の有理化がこの問題の山場です。分母 $1+j3\omega CR$ の共役 $1-j3\omega CR$ を分子分母に掛けると、分母が $1+9(\omega CR)^{2}$ になります。

❹で両辺の $\omega$ が約分されます。答えに $\omega$ が残らない——選択肢を見ても $\omega$ は分母の $(\omega CR)^{2}$ の中にしかありません。

負荷インピーダンスを共役で有理化して実部と容量性の負の虚部へ分け、線路の正の虚部ωLと打ち消してLイコール3CR二乗割る1プラス9ωCR二乗を導く解説 — 力率1では全インピーダンスの虚部が0です。線路の誘導性と負荷の容量性を釣り合わせると、L＝3CR²/{1＋9(ωCR)²}となり、(a)は選択肢2です。

答え(a) $L=\dfrac{3CR^{2}}{1+9(\omega CR)^{2}}$　→　選択肢(2)

(b) の解説：Δの端子電圧は線間電圧

コンデンサはΔ接続なので、その端子電圧は「負荷側の線間電圧」です。Y換算した相電圧の $\sqrt3$ 倍になります。

$$I=\frac{V/\sqrt3}{R/\{1+9(\omega CR)^{2}\}}$$

❶ 線電流
力率1なので実部だけ

$$V_{p,\text{負荷}}=I\times|\dot Z_{\text{負荷}}|=I\times\frac{R}{\sqrt{1+9(\omega CR)^{2}}}$$

❷ 負荷の相電圧

$$V_{p,\text{負荷}}=\frac{V}{\sqrt3}\sqrt{1+9(\omega CR)^{2}}$$

❸ 整理
$R$ が約分

$$V_C=\sqrt3\,V_{p,\text{負荷}}=V\sqrt{1+9(\omega CR)^{2}}$$

❹ 線間電圧に直す
$\sqrt3$ が消える

❸で $\dfrac{1+9(\omega CR)^{2}}{\sqrt{1+9(\omega CR)^{2}}}=\sqrt{1+9(\omega CR)^{2}}$ となります。分子が分母の二乗になっているので、割ると平方根が残るわけです。

❹で $\sqrt3$ がきれいに消えて、答えが $V\sqrt{1+9(\omega CR)^{2}}$ になります。$V$ より大きい——線路のコイルで電圧が上がる（フェランチ効果に似た現象）ことを示しています。

力率1条件で全インピーダンスの実部から相電流を求め、負荷インピーダンスの大きさを掛けて負荷相電圧V割るルート3かけるルート1プラス9ωCR二乗を導き、デルタコンデンサ端子電圧は線間電圧であると示す解説 — 負荷相電圧を求めた後、Δ接続コンデンサの端子電圧は線間電圧なので√3倍します。

負荷相電圧をルート3倍してコンデンサ端子電圧Vルート1プラス9ωCR二乗を求め、選択肢2および公式解答15a選択肢2、15b選択肢2と照合する解説 — コンデンサ端子電圧はV√{1＋9(ωCR)²}です。(b)は選択肢2で、公式解答の15(a)＝2、15(b)＝2とも一致します。

答え(b) $V_C=V\sqrt{1+9(\omega CR)^{2}}$　→　選択肢(2)

誤答の正体：$\sqrt3$ と平方根の位置

選択肢 (b)	式	どんな誤りか
(1)	$\sqrt3V\sqrt{1+9(\omega CR)^{2}}$	$\sqrt3$ を余分に掛ける
(2)	$V\sqrt{1+9(\omega CR)^{2}}$	正解
(3)	$V\sqrt{1+9(\omega CR)^{2}}/\sqrt3$	相電圧のまま答える
(4)	$\sqrt3V/\sqrt{1+9(\omega CR)^{2}}$	分子分母が逆
(5)	$V/\sqrt{1+9(\omega CR)^{2}}$	分子分母が逆

(4)(5)は平方根が分母に来ているので、$V_C<V$ となってしまいます。線路にコイルがあると負荷端の電圧は上がる——この物理的な向きが分かれば2つ消えます。

(3)は相電圧で止めた場合です。Δ接続のコンデンサには線間電圧がかかる——$\sqrt3$ 倍するのを忘れないでください。

⚠️ よくある間違い
「Δ接続のコンデンサをY換算したら $3C$」という関係を、電圧の計算にまで持ち込まないでください。Y換算は計算の便法であって、実際のコンデンサはΔに接続され線間電圧を受けています。

☝️ ひっかけの作り方：力率1という条件は (b) でも効いています。全体のインピーダンスが実数（虚部ゼロ）なので、線電流は $V/\sqrt3$ を実部だけで割れば出ます——力率1でなければもっと面倒です。

深掘り①：$9(\omega CR)^{2}$ の $9$ はどこから来たか

選択肢に共通する $9(\omega CR)^{2}$ という形は、Δ→Y変換の痕跡です。由来をたどってみましょう。

$$C_\Delta\ \to\ C_Y=3C$$

❶ Y換算
容量は3倍

$$\dot Y=\frac{1}{R}+j\omega(3C)=\frac{1}{R}+j3\omega C$$

❷ アドミタンス
$3$ が入る

$$|\dot Y|^{2}R^{2}=1+(3\omega CR)^{2}=1+9(\omega CR)^{2}$$

❸ 二乗すると
$3^{2}=9$

もしコンデンサがY接続なら $9$ は $1$ になります。選択肢に $9$ があること自体が「Δ接続だ」というヒント——問題文と図を確認する手がかりになります。

逆に $\sqrt3$ が出てくる選択肢は罠です。Δ→Y変換は $3$ 倍であって $\sqrt3$ 倍ではありません——$\sqrt3$ が出るのは電圧と電流の関係だけです。

深掘り②：線路のコイルで電圧が上がる現象

答え $V_C=V\sqrt{1+9(\omega CR)^{2}}$ は電源電圧 $V$ より大きい値です。なぜ負荷端の電圧が上がるのかを考えてみましょう。

負荷が容量性（コンデンサが効いている）だと、線路のコイルとの間で電圧が持ち上がります。コンデンサの進み電流がコイルを通ると、電圧が加算される向きになるためです。

負荷の性質	線路（誘導性）を通ると	現象名
誘導性（遅れ）	負荷端の電圧が下がる	電圧降下
容量性（進み）	負荷端の電圧が上がる	フェランチ効果

フェランチ効果は、長距離送電線や地中ケーブルで実際に起きる現象です。軽負荷時に線路の静電容量が効いて、受電端電圧が送電端より高くなります——電力科目の頻出テーマです。

本問は力率1の状態ですが、負荷そのものは容量性です。線路のコイルの遅れとちょうど釣り合って、全体として力率1になっている——だから負荷端では電圧が上がっています。

深掘り③：記号式の問題を数値で検算する

記号のまま答える問題は、適当な数値を入れて確かめられます。$R=10\ \Omega$、$C=100\ \mu\mathrm{F}$、$\omega=314$ としてみましょう。

$$9(\omega CR)^{2}=9\times(314\times10^{-4}\times10)^{2}=9\times0.0986=0.888$$

❶ 共通部分

$$L=\frac{3\times10^{-4}\times100}{1.888}\fallingdotseq1.59\times10^{-2}\ \mathrm{H}$$

❷ (a) の式
約15.9 mH

$$\omega L=314\times0.0159\fallingdotseq4.99\ \Omega$$

❸ リアクタンス

この $L$ を使って全体のインピーダンスを計算すると、虚部がぴたりとゼロになります。力率1の条件が満たされている——(a) の式が正しいことの確認です。

(b) も同様に、$V=200\ \mathrm{V}$ なら $V_C=200\sqrt{1.888}=275\ \mathrm{V}$。実際に線電流と負荷相電圧を計算しても同じ275 Vが出ます——2通りで一致すれば安心です。

⏱️ 本番での進め方
❶ Δ接続の $C$ はY換算で $3C$——インピーダンスが $1/3$ だから容量は3倍。
❷ 選択肢の $9$ は $3^{2}$ の痕跡——Δ接続である証拠。
❸ 力率1＝全体の虚部がゼロ——方程式が1本立つ。
❹ 記号式は数値代入で検算——$R=10$、$C=100\ \mu\mathrm{F}$ で1分。

💡 覚え方
「Δ→YでインピーダンスもリアクタンスもLも $1/3$、しかし $C$ だけ3倍」——コンデンサだけ逆です。$Z_C=1/(j\omega C)$ で $C$ が分母にいる——だから逆向きに動きます。

出題履歴：記号式の三相問題は難問だが型は同じ

数値が出てこない問題は敬遠されがちですが、やることは数値問題とまったく同じです。Δ→Y変換 → 1相等価回路 → 力率1の条件——手順を型として持っていれば、記号でも数値でも同じように解けます。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

あわせて解いておきたい記事：【理論】平成29年度B問題16（記号式で力率1のコンデンサ）

まとめ

1相Z	jωL+R/(1+j3ωCR)
(a)力率1	L＝3CR²/{1+9(ωCR)²} …(2)
負荷端相電圧	(V/√3)√{1+9(ωCR)²}
(b)C端子電圧	V√{1+9(ωCR)²} …(2)

▼あわせて解きたい関連問題
・三相の力率1条件とΔ-Y変換：【理論】平成29年度B問題16