三相交流18【電験3種 理論】線路インダクタンス付きY-R・Δ-C負荷の力率1条件を求める！平成23年度 B問題15 完全解説

今回は平成23年度 理論科目 B問題15を解説します。R〔Ω〕の抵抗、C〔F〕のコンデンサ、L〔H〕のコイルからなる平衡三相負荷に線間電圧V〔V〕の対称三相電源を接続した回路（角周波数ω）で、(a)電源からみた力率が1になるLとCの関係式と(b)そのときのコンデンサCの端子電圧を求めるB問題です。

Δ接続のコンデンサCをY等価（3C）に変換し、1相分のインピーダンスを組み立てます。Z＝jωL+R/(1+j3ωCR)。力率1は虚部＝0の条件から。(b)のコンデンサ端子電圧は負荷端の線間電圧で、相電圧の√3倍になります。

出題のポイント

平成23年度 理論科目 B問題15：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電気回路（三相交流）】 平成23年度 B問題15

　図のように、R〔Ω〕の抵抗、静電容量C〔F〕のコンデンサ、インダクタンスL〔H〕のコイルからなる平衡三相負荷に線間電圧V〔V〕の対称三相交流電源を接続した回路がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし、交流電源電圧の角周波数はω〔rad/s〕とする。

（a）三相電源からみた平衡三相負荷の力率が1になったとき、インダクタンスL〔H〕のコイルと静電容量C〔F〕のコンデンサの関係を示す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）L＝3C²R²/{1+9(ωCR)²}
（2）L＝3CR²/{1+9(ωCR)²}
（3）L＝3C²R/{1+9(ωCR)²}
（4）L＝9CR²/{1+9(ωCR)²}
（5）L＝R/{1+9(ωCR)²}

（b）平衡三相負荷の力率が1になったとき、静電容量C〔F〕のコンデンサの端子電圧〔V〕の値を示す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）√3V√{1+9(ωCR)²}
（2）V√{1+9(ωCR)²}
（3）V√{1+9(ωCR)²}/√3
（4）√3V/√{1+9(ωCR)²}
（5）V/√{1+9(ωCR)²}

ポイント解説：Δ-C→Y(3C)、1相Z＝jωL+R/(1+j3ωCR)、力率1で虚部0

負荷は、各線に直列のコイルL、Y接続の抵抗R、Δ接続のコンデンサCからなる。まずΔ接続のCをY等価に変換すると静電容量3C（サセプタンス3ωC）になる。1相分は、直列のjωLと、R∥(3CのY)＝R/(1+j3ωCR)の直列。

1相分の合成インピーダンスZ＝jωL+R/(1+j3ωCR)。R/(1+j3ωCR)を実部・虚部に分けると、実部＝R/{1+9(ωCR)²}、虚部＝−3ωCR²/{1+9(ωCR)²}。力率1はZの虚部＝0の条件。

問題の解説

STEP1　(a) 力率1の条件

Zの虚部＝ωL−3ωCR²/{1+9(ωCR)²}＝0。よってωL＝3ωCR²/{1+9(ωCR)²}、すなわちL＝3CR²/{1+9(ωCR)²}。(a)は(2)。

STEP2　(b) 負荷端の相電圧

力率1のときZは実数でRe(Z)＝R/{1+9(ωCR)²}。相電流I＝(V/√3)/Re(Z)。R∥Cの部分の相電圧＝I×|R/(1+j3ωCR)|＝I×R/√{1+9(ωCR)²}＝(V/√3)√{1+9(ωCR)²}。

STEP3　(b) コンデンサ端子電圧

Δ接続コンデンサの端子電圧は負荷端の線間電圧で、相電圧の√3倍。よって√3×(V/√3)√{1+9(ωCR)²}＝V√{1+9(ωCR)²}。(b)は(2)。

答え：(a)-(2)，(b)-(2)

まとめ

1相Z	jωL+R/(1+j3ωCR)
(a)力率1	L＝3CR²/{1+9(ωCR)²} …(2)
負荷端相電圧	(V/√3)√{1+9(ωCR)²}
(b)C端子電圧	V√{1+9(ωCR)²} …(2)

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