今回は平成29年度 理論科目 B問題16を解説します。線間電圧V・周波数fの対称三相電源に、R〔Ω〕とインダクタンスL〔H〕のY接続三相平衡負荷を接続し、スイッチSを介してΔ接続の三相平衡コンデンサC〔F〕を接続できる回路で、(a)負荷全体の有効電力と力率、(b)力率を1にするCの式を求めるB問題です。
(a)は1相分のY等価回路でZ＝√(R²+(ωL)²)を出し、P＝3I²R・力率＝R/Z。(b)は負荷の遅れ無効電力Q_LとΔコンデンサの進み無効電力Q_Cを等値します。Δコンデンサには線間電圧Vがかかるので Q_C＝3V²ωC。
平成29年度 理論科目 B問題16：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成29年度 第三種電気主任技術者試験」理論科目 B問題16
電験3種 理論科目 【電気回路（三相交流）】 平成29年度 B問題16
図のように、線間電圧V〔V〕、周波数f〔Hz〕の対称三相交流電源に、R〔Ω〕の抵抗とインダクタンスL〔H〕のコイルからなる三相平衡負荷（Y接続）を接続した交流回路がある。この回路には、スイッチSを介して、負荷に静電容量C〔F〕の三相平衡コンデンサ（Δ接続）を接続することができる。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
（a）スイッチSを開いた状態において、V＝200V、f＝50Hz、R＝5Ω、L＝5mHのとき、三相負荷全体の有効電力〔W〕と力率の値の組合せとして、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
有効電力〔W〕 力率 （1） 2.29×10³ 0.50 （2） 7.28×10³ 0.71 （3） 7.28×10³ 0.95 （4） 2.18×10⁴ 0.71 （5） 2.18×10⁴ 0.95 （b）スイッチSを閉じてコンデンサを接続したとき、電源からみた負荷側の力率が1になった。このとき、静電容量Cの値〔F〕を示す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、角周波数をω〔rad/s〕とする。
（1）C＝L/(R²+ω²L²)
（2）C＝ωL/(R²+ω²L²)
（3）C＝L/{√3(R²+ω²L²)}
（4）C＝L/{3(R²+ω²L²)}
（5）C＝ωL/{3(R²+ω²L²)}
出題のポイント：Y負荷は相電圧、Δコンデンサは線間電圧
負荷はY接続、コンデンサはΔ接続——それぞれにかかる電圧が違うのが本問の急所です。Y負荷の1相には \(V/\sqrt3\)、Δコンデンサの1個には \(V\) がまるごとかかります。
(a) は素直な計算ですが、(b) は記号のまま式を導く——数値を入れずに最後まで文字で押し通す力が問われます。
\(L=5\ \mathrm{mH}\) はインダクタンスです。まず \(X_L=2\pi fL\) でリアクタンスに直す——ここを飛ばすと単位が合いません。
(a) の解説：リアクタンスに直してから1相分を計算
\(\omega=314\)
Y接続
❹では抵抗5 Ωだけを掛けます。コイルは有効電力を消費しないので、\(|\dot Z|\) を使うと過大になります。
力率0.95は「かなり良い」値です。\(X_L\) が \(R\) の1/3程度しかないためで、ほとんど抵抗負荷に近い状態です。
(b) の解説：記号のまま無効電力を等しいと置く
力率1にするには、負荷の遅れ無効電力とコンデンサの進み無効電力を等しくします。両方を記号で書いて等式を立てるのが方針です。
3が約分される
線間電圧
\(V^{2}\) も \(\omega\) も消える
❷で \(3\) が約分されるのが気持ちいいところです。\(3\times\dfrac{V^{2}}{3(\ldots)}=\dfrac{V^{2}}{\ldots}\)——Y接続の \(\sqrt3\) がちょうど打ち消されます。
❹では \(V^{2}\) と \(\omega\) が両辺から消えます。答えに電源電圧も角周波数も含まれない——これは「電圧や周波数によらず、素子値だけで決まる」ことを意味します。
誤答の正体：\(3\) と \(\omega\) の有無で見分ける
(b) の選択肢は、\(3\) や \(\sqrt3\) の有無、\(\omega\) の有無で分かれています。次元と係数の2点で絞り込めます。
| 選択肢 | 式 | どんな誤りか |
| (1) | \(\dfrac{L}{R^{2}+\omega^{2}L^{2}}\) | Δの \(3\) を忘れる（Y接続と誤る） |
| (2) | \(\dfrac{\omega L}{R^{2}+\omega^{2}L^{2}}\) | \(\omega\) が余分（次元が合わない） |
| (3) | \(\dfrac{L}{\sqrt3(R^{2}+\omega^{2}L^{2})}\) | \(3\) ではなく \(\sqrt3\) にしてしまう |
| (4) | \(\dfrac{L}{3(R^{2}+\omega^{2}L^{2})}\) | 正解 |
| (5) | \(\dfrac{\omega L}{3(R^{2}+\omega^{2}L^{2})}\) | \(3\) は正しいが \(\omega\) が余分 |
次元（単位）を見れば(2)と(5)は消えます。\(C\) の単位はF＝\(\mathrm{s}/\Omega\)、\(\dfrac{L}{\Omega^{2}}=\dfrac{\Omega\cdot\mathrm{s}}{\Omega^{2}}=\dfrac{\mathrm{s}}{\Omega}\)——\(\omega\) が付くと余分になります。
残る(1)(3)(4)は係数だけの違いです。Δ接続なら \(3\)、Y接続なら \(1\)——\(\sqrt3\) が出る場面ではありません。
⚠️ よくある間違い
コンデンサがΔ接続だから \(3\) が入ります。Y接続なら各コンデンサに \(V/\sqrt3\) しかかからず、\(Q_C=3\omega C(V/\sqrt3)^{2}=\omega CV^{2}\)——必要な容量は3倍になります。
☝️ ひっかけの作り方：(a) の選択肢に \(2.18\times10^{4}\ \mathrm{W}\) があるのに注意してください。これは相電圧に直さず \(200\ \mathrm{V}\) をそのまま使った場合の値に近く、ちょうど3倍です。
深掘り①：答えに \(V\) も \(\omega\) も含まれない意味
(b) の答え \(C=\dfrac{L}{3(R^{2}+\omega^{2}L^{2})}\) には電源電圧 \(V\) が含まれません。これは重要な性質です。
負荷の無効電力も、コンデンサの無効電力も、どちらも \(V^{2}\) に比例します。だから等しいと置いたとき \(V^{2}\) が消える——電圧が変わっても力率1の条件は変わりません。
| 量 | 電圧依存性 | 備考 |
| 負荷の \(Q_L\) | \(V^{2}\) に比例 | \(Q_L=\dfrac{V^{2}\omega L}{R^{2}+\omega^{2}L^{2}}\) |
| コンデンサの \(Q_C\) | \(V^{2}\) に比例 | \(Q_C=3\omega CV^{2}\) |
| 必要な \(C\) | 電圧によらない | 素子値と周波数だけで決まる |
ただし \(\omega\) は答えの中に残っています（分母の \(\omega^{2}L^{2}\)）。周波数が変われば必要な容量も変わる——50 Hzと60 Hzで違うということです。
実務では「この設備は50 Hz用」と明記されるのはこのためです。進相コンデンサを周波数の違う地域に持ち込むと、補償量がずれます。
深掘り②：記号式のまま解くコツ
数値を入れずに文字で押し通すのは、慣れないと難しく感じます。コツを整理しておきましょう。
| コツ | 内容 |
| ❶ 二乗の形で持つ | \(I\) より \(I^{2}\) のほうが扱いやすい（\(\sqrt{}\) が消える） |
| ❷ 共通因子を先に消す | 両辺の \(V^{2}\)、\(\omega\) は早めに約分 |
| ❸ 次元で検算 | 最後に単位が F になるか確認 |
| ❹ 数値代入で確認 | (a) の数値を入れて実際の容量が出るか |
実用的な値
約61 µFという現実的な値が出ました。もし \(\omega\) を余分に掛けた(5)の式なら約0.019 F＝19000 µF——あり得ない大きさだと分かります。
深掘り③：力率改善の効果を確認する
力率0.954を1にすると、どれだけ電流が減るかを計算しておきましょう。
| 改善前 | 改善後（力率1） | |
| 有効電力 \(P\) | 7281 W | 7281 W（不変） |
| 無効電力 \(Q\) | 2288 var | 0 var |
| 皮相電力 \(S\) | 7632 V·A | 7281 V·A |
| 力率 | 0.954 | 1.000 |
| 線電流 | 22.03 A | 21.02 A |
電流の減少はわずか4.6 %です。もともとの力率が0.95と高いので、改善の余地が小さい——力率0.6の負荷なら4割減ったことと比べると差は明らかです。
実務でも「力率0.95以上ならコンデンサの追加投資は見合わない」という判断がよくなされます。本問の数値は、まさにその境目にあります。
⏱️ 本番での進め方
❶ Y負荷は \(V/\sqrt3\)、Δコンデンサは \(V\)——この違いが係数 \(3\) を生む。
❷ 記号式では \(I^{2}\) の形で持つ——平方根が消えて扱いやすい。
❸ 次元チェックで \(\omega\) の有無を判定——(2)(5)が消える。
❹ 最後に数値代入で検算——61 µFという現実的な値が出るか。
💡 覚え方
「Δコンデンサは \(3\omega CV^{2}\)」——この形を丸ごと覚えてしまうのが速いです。Y接続なら \(\omega CV^{2}\)（\(3\) が付かない）——\(3\) の有無だけで区別できます。
出題履歴：記号式で力率改善を問う形
数値ではなく記号式で答えさせる出題は、公式を丸暗記しているだけでは解けません。導出の過程を追える力が問われます。次元チェックと数値代入という2つの検算法を持っておけば、確実に絞り込めます。
この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。
あわせて解いておきたい記事：【理論】平成26年度B問題16（R∥Lの三相負荷とΔコンデンサ）／【理論】平成25年度B問題15（力率1にするコンデンサ）
まとめ
| Z | √(R²+ω²L²)≒5.24Ω |
| P | 3I²R≒7.28×10³W …(a)(3) |
| 力率 | R/Z≒0.95 |
| C | L/{3(R²+ω²L²)} …(b)(4) |
▼あわせて解きたい関連問題
・三相の力率改善（Δコンデンサ）：【理論】令和7年度下期B問題15
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