三相交流19【電験3種理論】Y結線平衡三相回路の基本式の正誤を判定する！平成22年度 A問題9 完全解説

2026年7月13日2026年8月8日

電験3種理論科目電気回路（三相交流）平成22年度 A問題9 線間は相の√3倍！三相の基本式で誤りはどれ？

今回は平成22年度理論科目 A問題9を解説します。Y結線の対称三相電源にY結線の平衡三相抵抗負荷を接続した回路について、線間電圧V_ℓ・線電流I_ℓ・相電圧V_p・相電流I_p・各相抵抗R・消費電力Pの関係式のうち、誤っているものを選ぶ問題です。

Y結線の基本関係を押さえれば解けます。線間電圧＝√3×相電圧、線電流＝相電流、消費電力P＝3×相電圧×相電流＝√3×線間電圧×線電流。この電力の式で係数（3と√3）を取り違えた選択肢が誤りになります。

平成22年度理論科目 A問題9：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目三相交流平成22年度 A問題9 問題文 — 平成22年度理論科目 A問題9 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成22年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題9

電験3種理論科目【電気回路（三相交流）】平成22年度 A問題9

　Y結線の対称三相交流電源にY結線の平衡三相抵抗負荷を接続した場合を考える。負荷側における線間電圧をV_ℓ〔V〕、線電流をI_ℓ〔A〕、相電圧をV_p〔V〕、相電流をI_p〔A〕、各相の抵抗をR〔Ω〕、三相負荷の消費電力をP〔W〕とする。

このとき、誤っているのは次のうちどれか。

（1）V_ℓ＝√3V_p が成り立つ。
（2）I_ℓ＝I_p が成り立つ。
（3）I_ℓ＝V_p/R が成り立つ。
（4）P＝√3V_p I_p が成り立つ。
（5）電源と負荷の中性点を中性線で接続しても、中性線に電流は流れない。

出題のポイント：$\sqrt3$ が付く式と付かない式を仕分ける

Y結線の基本公式を5つ並べ、誤りを1つ選ばせる問題です。計算はほとんど不要で、公式を正確に覚えているかだけが問われます。

急所は電力の式です。相電圧・相電流で書くなら $P=3V_pI_p\cos\phi$、線間電圧・線電流で書くなら $P=\sqrt3V_lI_l\cos\phi$——$\sqrt3$ が付くのは後者だけです。

三相電力の2つの表し方

$$P=3V_pI_p\cos\phi=\sqrt3\,V_lI_l\cos\phi$$

※「3が付くのは相、$\sqrt3$ が付くのは線」。混ぜて $\sqrt3V_pI_p$ と書くのは誤りです。

なぜ両方が同じ値になるのか——Y結線では $V_l=\sqrt3V_p$、$I_l=I_p$ なので、$\sqrt3V_lI_l=\sqrt3\times\sqrt3V_p\times I_p=3V_pI_p$——ぴたりと一致します。

Y結線の平衡三相抵抗負荷について、各線から中性点Nへ接続された3個の抵抗R、線電流と相電流の一致、相電圧と線間電圧のルート3関係を示す解説 — Y結線の基本はV_ℓ＝√3V_p、I_ℓ＝I_pです。線間電圧は相電圧のベクトル差、線電流は各相を流れる電流そのものです。

解説：選択肢を1つずつ検証する

選択肢	内容	判定	理由
(1)	$V_l=\sqrt3V_p$	○	Y結線の電圧関係
(2)	$I_l=I_p$	○	Y結線では枝＝線
(3)	$I_l=V_p/R$	○	相電流 $=V_p/R$ かつ $I_l=I_p$
(4)	$P=\sqrt3V_pI_p$	×	正しくは $3V_pI_p$
(5)	中性線に電流は流れない	○	平衡なら $\dot I_a+\dot I_b+\dot I_c=0$

(3) はやや紛らわしいですが正しい式です。各相の抵抗 $R$ に相電圧 $V_p$ がかかるので相電流は $V_p/R$、Y結線では線電流＝相電流——したがって $I_l=V_p/R$ です。

本問は純抵抗負荷なので、力率 $\cos\phi=1$ です。だから選択肢の電力の式に $\cos\phi$ が書かれていません——それでも $3$ と $\sqrt3$ の区別は変わりません。

選択肢1から3について、Y結線の線間電圧と相電圧、線電流と相電流、抵抗負荷のオームの法則を順に導出し、すべて正しいと判定する解説 — (1) V_ℓ＝√3V_p、(2) I_ℓ＝I_p、(3) I_ℓ＝V_p/RはいずれもY結線の基本式から正しいと確認できます。

1相電力V_pI_pを3相分足してPイコール3V_pI_pを導き、線間値ではPイコールルート3V_ℓI_ℓになることから、選択肢4の係数ルート3が誤りと判定する解説 — 相電圧・相電流を使う電力式はP＝3V_pI_pです。√3が付くのは線間電圧V_ℓと線電流I_ℓを使うときなので、(4)が誤りです。

平衡三相の相電流I_a、I_b、I_cが120度ずれてベクトル和0となり、中性線電流I_Nも0であることをKCLで示し、全選択肢を整理して正解4と公式解答を照合する解説 — 平衡時はI_a＋I_b＋I_c＝0なので中性線電流も0です。(5)は正しく、誤っているものは(4)で公式解答とも一致します。

答え誤っているのは $P=\sqrt3V_pI_p$　→　選択肢(4)

数値を入れて確かめる

抽象的な式のままでは不安なら、具体的な数値を入れてみるのが確実です。$V_p=100\ \mathrm{V}$、$R=10\ \Omega$ としてみましょう。

$$I_p=\frac{V_p}{R}=\frac{100}{10}=10\ \mathrm{A}=I_l$$

❶ 相電流＝線電流

$$V_l=\sqrt3\times100\fallingdotseq173.2\ \mathrm{V}$$

❷ 線間電圧

$$P=3V_pI_p=3\times100\times10=3000\ \mathrm{W}$$

❸ 相で計算
正しい

$$P=\sqrt3V_lI_l=\sqrt3\times173.2\times10=3000\ \mathrm{W}$$

❹ 線で計算
一致 ✓

$$\sqrt3V_pI_p=\sqrt3\times100\times10\fallingdotseq1732\ \mathrm{W}$$

❺ 選択肢(4)の式
合わない ×

❺だけが3000 Wになりません。$1732\ \mathrm{W}$ は正解の $1/\sqrt3$ 倍——$\sqrt3$ を1回余分に割ってしまった値です。

実際の電力を $3I_p^{2}R$ で確かめると $3\times100\times10=3000\ \mathrm{W}$——やはり3000 Wが正しいと分かります。3通りで確認できれば確信が持てます。

⚠️ よくある間違い
「三相だから $\sqrt3$ を掛ける」という覚え方は危険です。$\sqrt3$ が出るのは、線間電圧と線電流を使うときだけ。相の値を使うなら素直に3倍——1相分を3つ足すだけだからです。

☝️ ひっかけの作り方：(5) の中性線の話も要注意です。平衡なら電流はゼロですが、不平衡なら流れます。本問は「平衡三相抵抗負荷」と明記されているので正しい記述です。

深掘り①：三相電力の式を4通り書けるようにする

三相電力の式は、与えられた情報に応じて使い分けます。4通りすべて書けるようにしておきましょう。

式	使う量	使う場面
$P=3V_pI_p\cos\phi$	相電圧・相電流	1相等価回路から
$P=\sqrt3V_lI_l\cos\phi$	線間電圧・線電流	測定値から（最も実用的）
$P=3I_p^{2}R$	相電流・抵抗	電流と抵抗が分かるとき
$P=3\dfrac{V_p^{2}}{R}$	相電圧・抵抗	純抵抗負荷のとき

実務で最もよく使うのは2番目です。電力量計や計器が測るのは線間電圧と線電流——中性点は取り出せないことも多いためです。

Y結線の純抵抗負荷なら $P=\dfrac{V_l^{2}}{R}$ という形も便利です。$3\times\dfrac{(V_l/\sqrt3)^{2}}{R}=\dfrac{V_l^{2}}{R}$——3も $\sqrt3$ も消えます。

深掘り②：なぜ中性線に電流が流れないのか

平衡三相では、3つの相電流の和がぴたりとゼロになります。これが中性線に電流が流れない理由です。

$$\dot I_a=I\angle0^\circ,\quad \dot I_b=I\angle-120^\circ,\quad \dot I_c=I\angle-240^\circ$$

❶ 3つの相電流
大きさ同じ・120°ずつ

$$\dot I_a+\dot I_b+\dot I_c=I(1-0.5-j0.866-0.5+j0.866)=0$$

❷ 合計
完全にゼロ

3つのベクトルが正三角形を閉じる——だから和がゼロです。中性線があっても、そこを流れる電流はないので、電線を1本節約できます。

これが三相3線式が使われる理由です。単相を3組送るなら6本必要ですが、三相なら3本で済む——電線量を半分にできます。

方式	電線の本数	備考
単相2線式	2本	家庭用
単相3線式	3本	100 Vと200 Vが取れる
三相3線式	3本	動力用の標準
三相4線式	4本	不平衡に備えて中性線を持つ

不平衡が生じる可能性がある場合は、中性線を設けます。照明などの単相負荷を混在させると不平衡になるためで、そのときは中性線に電流が流れます。

深掘り③：Y結線とΔ結線の公式を完全対比

本問はY結線でしたが、Δ結線の公式もセットで押さえておきましょう。選択肢の正誤を判断する土台になります。

	Y（スター）結線	Δ（デルタ）結線
電圧	$V_l=\sqrt3V_p$	$V_l=V_p$
電流	$I_l=I_p$	$I_l=\sqrt3I_p$
1相の電流	$I_p=\dfrac{V_l/\sqrt3}{Z}$	$I_p=\dfrac{V_l}{Z}$
三相電力	$\dfrac{V_l^{2}}{Z}\cos\phi$	$\dfrac{3V_l^{2}}{Z}\cos\phi$
中性点	ある	ない

電力の欄を見ると、同じ $Z$ でもΔのほうが3倍です。これは三相交流で最も重要な結論のひとつ——スターデルタ始動の原理にもつながります。

$P=\sqrt3V_lI_l\cos\phi$ の式だけは、Y・Δ共通です。線間電圧と線電流で書けば結線によらない——だから実務ではこの式が標準になっています。

⏱️ 本番での進め方
❶ 「3が付くのは相、$\sqrt3$ が付くのは線」——電力の式の合言葉。
❷ 迷ったら数値を代入——$V_p=100$、$R=10$ で3通り計算すれば分かる。
❸ Y結線は「電圧に $\sqrt3$」、Δ結線は「電流に $\sqrt3$」。
❹ 平衡なら中性線電流はゼロ——不平衡なら流れる。

💡 覚え方
$P=3V_pI_p\cos\phi$ が原点です。「1相分の電力を3つ足す」——これがそもそもの定義で、$\sqrt3$ の式はそれを線間の量で書き直しただけ。原点を押さえれば、$\sqrt3$ の位置で迷いません。