過渡現象20【電験3種理論】RC回路の投入直後と定常の電流比が2になる抵抗を求める！平成22年度 A問題10 完全解説

2026年7月13日2026年8月1日

電験3種理論科目電気回路（過渡現象）平成22年度 A問題10 電流比がちょうど2になる！その抵抗は何Ω？

今回は平成22年度理論科目 A問題10を解説します。スイッチSを閉じた瞬間の点A電流I₀と定常の電流Iについて、電流比I₀/I＝2にするために必要な抵抗R₃を求める問題です（コンデンサ初期電荷0）。

コンデンサは投入直後は短絡、定常では開放。t＝0でAはR₃∥R₂を見てI₀＝E/(R₁+R₃∥R₂)、t＝∞はR₂だけでI＝E/(R₁+R₂)。I₀/I＝2の条件からR₃を求めます。

平成22年度理論科目 A問題10：問題文と選択肢

これまでの「比を求める」問題とは逆で、比が2になるように抵抗を設計する問題です。文字式の選択肢は、具体的な数値を入れれば一発で見分けられます。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目過渡現象平成22年度 A問題10 問題文 — 平成22年度理論科目 A問題10 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成22年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題10

電験3種理論科目【電気回路（過渡現象）】平成22年度 A問題10

　図に示す回路において、スイッチSを閉じた瞬間（時刻t＝0）に点Aを流れる電流をI₀〔A〕とし、十分に時間が経ち、定常状態に達したのちに点Aを流れる電流をI〔A〕とする。電流比I₀/Iの値を2とするために必要な抵抗R₃〔Ω〕の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。ただし、コンデンサの初期電荷は零とする。

（1）R₁/(R₁+R₂)·(R₁/2+R₂)　（2）R₁/(R₁+R₂)·(R₂/3−R₁)　（3）R₁/(R₁+R₂)·(R₁−R₂)　（4）R₂/(R₁+R₂)·(R₁+R₂)　（5）R₂/(R₁+R₂)·(R₂−R₁)

出題のポイント：条件を式にしてから、未知の抵抗について解く

これまでの「電流比を求める」問題とは逆で、比が2になるように抵抗を設計する問題です。手順は同じですが、最後に方程式を解く一手間が加わります。

時刻	コンデンサの扱い	分岐部分	点Aの電流
t＝0（投入直後）	短絡（初期電荷0）	R₃∥R₂	$I_0=\dfrac{E}{R_1+R_3\parallel R_2}$
t＝∞（定常状態）	開放	R₂のみ	$I=\dfrac{E}{R_1+R_2}$

点Aは分岐より前にあるので、どちらの時刻でも電源から流れ出る全電流です。分岐後の枝電流と混同しないでください。

そして比を取ると電源電圧Eが消えます。だからEが与えられていなくても、R₁・R₂だけでR₃が決まります。

公式回路のR1直列とC・R3直列枝およびR2枝の並列接続を示し、投入直後はC短絡、十分時間後はC開放として比較する解法の見取り図 — 投入直後は分岐部分がR₂∥R₃、十分時間後はR₂だけになることが解法の出発点です。

問題の解説：条件式を立ててR₃について解く

使う公式：時刻ごとの置き換えと合成抵抗

$$t=0:\;C\to\text{短絡},\qquad t=\infty:\;C\to\text{開放},\qquad R_3\parallel R_2=\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}$$

※初期電荷0だからt＝0で短絡。充電されていたら電池のように振る舞い、話が変わります。

STEP1　2つの時刻の電流を書く

$$I_0=\frac{E}{R_1+\dfrac{R_2R_3}{R_2+R_3}}$$

❶ 投入直後
C短絡でR₃枝が生きる

$$I=\frac{E}{R_1+R_2}$$

❷ 定常状態
C開放でR₃枝が切れる

STEP2　比を取って条件式にする

$$\frac{I_0}{I}=\frac{R_1+R_2}{R_1+\dfrac{R_2R_3}{R_2+R_3}}=2$$

❸ Eが約分で消える
分母と分子が入れ替わることに注意

$$R_1+R_2=2R_1+\frac{2R_2R_3}{R_2+R_3}$$

❹ 両辺に分母を掛ける

$$R_2-R_1=\frac{2R_2R_3}{R_2+R_3}$$

❺ R₁を移項
左辺がすっきりした

❸で分母と分子が入れ替わるのが引っかかりどころです。$I_0=E/R_0$、$I=E/R_\infty$ なので $I_0/I=R_\infty/R_0$。電流の比は抵抗の比の逆数——ここを間違えると答えが合いません。

STEP3　R₃について整理する

$$(R_2-R_1)(R_2+R_3)=2R_2R_3$$

❻ 分母を払う

$$R_2^2+R_2R_3-R_1R_2-R_1R_3=2R_2R_3$$

❼ 展開

$$R_2^2-R_1R_2=R_2R_3+R_1R_3=R_3(R_1+R_2)$$

❽ R₃でくくる
R₃の項を右辺に集めた

$$R_3=\frac{R_2(R_2-R_1)}{R_1+R_2}$$

❾ 解
左辺を $R_2(R_2-R_1)$ と因数分解

初期電荷ゼロとコンデンサ電圧連続性からCを短絡相当とし、並列合成抵抗とオームの法則で投入直後の全電流I0を導出 — 投入直後の全抵抗はR₁+R₂R₃/(R₂+R₃)で、点A電流I₀は電源電圧をこの抵抗で割った値です。

答え$R_3=\dfrac{R_2}{R_1+R_2}(R_2-R_1)$　→　選択肢(5)

直流定常でコンデンサを開放相当とし、R3枝の電流がゼロになってR1とR2だけが残る理由と定常電流Iを説明 — 十分時間後はC−R₃枝が開放され、全抵抗はR₁+R₂、点A電流はI=E/(R₁+R₂)です。

投入直後と定常時の電流式の比を2と置き、分母を払いR3の項をまとめてR2かけるR2引くR1割るR1足すR2を導出 — 同じ電源電圧Eは比で消え、式をR₃について整理するとR₃=R₂(R₂−R₁)/(R₁+R₂)となります。

誤答の正体：具体的な数値を入れると一発で分かる

文字式の選択肢は見比べにくいので、具体的な数値を代入して比が2になるか確かめるのが最も確実です。3組の値で全選択肢を検証しました。

選択肢	R₁＝10, R₂＝30	R₁＝20, R₂＝50	R₁＝5, R₂＝45	判定
(1)	R₃＝8.75 → 比2.38	R₃＝17.14 → 比2.14	R₃＝4.75 → 比5.38	×
(2)	R₃＝0 → 比4.00	R₃＝−0.95（負）	R₃＝1.00 → 比8.36	×
(3)	R₃＝−5（負）	R₃＝−8.57（負）	R₃＝−4（負）	常に負 ×
(4)	R₃＝30 → 比1.60	R₃＝50 → 比1.56	R₃＝45 → 比1.82	×
(5)	R₃＝15 → 比2.0000	R₃＝21.43 → 比2.0000	R₃＝36 → 比2.0000	○

(5)だけが3組すべてでぴったり2.0000になります。他はどれも2からずれるか、負の抵抗になります。

さらに計算せずに消せる選択肢が2つあります。

選択肢	式	即座に消せる理由
(3)	$\dfrac{R_1}{R_1+R_2}(R_1-R_2)$	$R_2>R_1$ なら必ず負。負の抵抗は存在しない
(4)	$\dfrac{R_2}{R_1+R_2}(R_1+R_2)$	約分すると $R_3=R_2$ になる。R₁に依存しないのは不自然

(4)の「約分できる」形は特に見抜きやすいです。$(R_1+R_2)$ が分母と分子で打ち消し合い、単に $R_3=R_2$ を意味します。R₁がまったく効かないのに比が2になる——そんな都合のよい話はありません。

解が存在する条件：R₂ > R₁ でなければならない

導いた式 $R_3=\dfrac{R_2(R_2-R_1)}{R_1+R_2}$ をよく見ると、$R_2>R_1$ でなければ $R_3$ が正になりません。

物理的にも納得できます。R₃を並列に足せる範囲には限界があるからです。

$$R_3\to\infty\;\Rightarrow\;R_3\parallel R_2\to R_2\;\Rightarrow\;\frac{I_0}{I}\to1$$

❿ R₃を極端に大きく
枝がないのと同じ＝比は1

$$R_3\to0\;\Rightarrow\;R_3\parallel R_2\to0\;\Rightarrow\;\frac{I_0}{I}\to\frac{R_1+R_2}{R_1}$$

⓫ R₃を極端に小さく
これが比の上限

比の最大値は $(R_1+R_2)/R_1$ です。これが2以上、つまり $R_2\ge R_1$ でなければ「比2」は実現できません。もしR₂がR₁より小さい回路で「比を2にせよ」と言われたら、どんなR₃を選んでも不可能なのです。

この「極端な値を入れて範囲を調べる」手法は、文字式の妥当性チェックとして強力です。答えの式に $R_2-R_1$ が現れたら、「R₂のほうが大きい前提だな」と読み取れます。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① $I_0/I=R_\infty/R_0$——電流の比は抵抗の比の逆数
② 文字式の選択肢は具体的な数値を代入して検算するのが最速
③ 約分できる選択肢（(4)は $R_3=R_2$）は不自然なので疑う
④ 負になる選択肢（(3)）は抵抗としてありえないので即消去
⑤ 答えの式に $R_2-R_1$ があれば「R₂＞R₁が前提」と読める

💡 覚え方
「Cが短絡ならR₃が生きる、Cが開放ならR₃も道連れ」。t＝0では $R_3\parallel R_2$、t＝∞では $R_2$ だけ。抵抗が増えた（$R_0<R_\infty$）ぶん電流は減るので、比は必ず1より大きくなります。

⚠️ よくある間違い
比の分母と分子を逆にするのが最頻出です。$I_0/I$ は電流の比なので、抵抗では $R_\infty/R_0$ と逆さまになります。またt＝0でR₃を無視する誤りも多く、初期電荷0のCは短絡＝R₃が有効です。