単相交流55【電験3種理論】正弦波電流の瞬時値がある値になる時刻を求める！平成21年度 A問題9 完全解説

2026年7月12日2026年7月28日

電験3種理論科目電気回路（単相交流）平成21年度 A問題9 瞬時値がその大きさになるのは？時刻を求める

今回は平成21年度理論科目 A問題9を解説します。電流i＝4√2 sin(120πt)〔A〕が、t＝0以降に初めて4Aになる時刻t₁〔s〕を求める問題です。

瞬時値の式i＝4√2 sin(120πt)に4Aを代入し、sin(120πt)＝1/√2となる最初の角度（π/4）からtを求めます。

平成21年度理論科目 A問題9：問題文と選択肢

電気技術者試験センター公表の公式問題PDF（理論・問9）と公式解答PDFを確認しながら進めます。下の公式問題画像は瞬時値の式・条件・選択肢を含め、元のまま保持しています。

電験3種理論科目単相交流平成21年度 A問題9 問題文 — 平成21年度理論科目 A問題9 問題文

電験3種理論科目【電気回路（単相交流）】平成21年度 A問題9

　ある回路に、i＝4√2 sin120πt〔A〕の電流が流れている。この電流の瞬時値が、時刻t＝0〔s〕以降に初めて4〔A〕となるのは、時刻t＝t₁〔s〕である。t₁〔s〕の値として、正しいのは次のうちどれか。

（1）1/480　（2）1/360　（3）1/240　（4）1/160　（5）1/120

出題のポイント：4 A は「実効値」——位相45°の点

$i=4\sqrt2\sin(120\pi t)$ の最大値は $4\sqrt2\approx5.66\;\mathrm{A}$、実効値は4 A です。「瞬時値が4 A になる」＝「瞬時値が実効値に一致する」——これは位相が45°の点です。

$\sin\theta=1/\sqrt2$ となる最初の角度が $\pi/4$。この関係を知っていれば、あとは角速度で割るだけです。

瞬時値の式と実効値

$$i=I_m\sin\omega t=\sqrt2\,I\sin\omega t\qquad I=\frac{I_m}{\sqrt2}$$

※$4\sqrt2$ という書き方は「実効値が4 A」を意味します。交流の式は実効値を $\sqrt2$ 倍した形で書かれることが多いので、係数を見たら実効値を読み取ってください。

平成21年度理論問9の出題ポイント。正弦波電流が4 Aとなる位相π/4と3π/4を示し、最初の上昇側π/4を選ぶ波形図 — 同じ4 Aでも上昇中のπ/4が1回目、下降中の3π/4が2回目です。

解説：3ステップで求まる

$$4=4\sqrt2\sin(120\pi t)\;\Longrightarrow\;\sin(120\pi t)=\frac{1}{\sqrt2}$$

❶ 代入して整理
$4$ が約分される

$$120\pi t=\frac{\pi}{4}$$

❷ 最初の解
$\sin\theta=1/\sqrt2$ の最小の正の解

$$t=\frac{\pi/4}{120\pi}=\frac{1}{480}\;\mathrm{s}$$

❸ $t$ について解く
$\pi$ が約分される

$\pi$ がきれいに約分されるのが気持ちのよいところです。$\dfrac{1}{4\times120}=\dfrac{1}{480}$——暗算でも出せます。

検算：$120\pi\times\dfrac{1}{480}=\dfrac{\pi}{4}$、$4\sqrt2\sin\dfrac{\pi}{4}=4\sqrt2\times\dfrac{1}{\sqrt2}=4\;\mathrm{A}$ ✓

瞬時値i＝4√2sin120πtを振幅・角周波数・初期位相へ分け、周波数60 Hz、周期1/60秒、最初の位相π/4を説明する図 — 角周波数120π rad/sは周波数60 Hzに対応し、位相π/4は1周期の1/8です。

答え$t_1=\dfrac{1}{480}\;\mathrm{s}$　→　選択肢(1)

平成21年度理論問9の問題解説1枚目。i＝4 Aを代入してsin値1/√2を求め、複数解から最初の位相π/4を選ぶ図 — 問題の解説1/3。sin＝1/√2の2つの解から、t＝0以降で先に現れるπ/4を採用します。

平成21年度理論問9の問題解説2枚目。位相角π/4を角周波数120πで割って1/480秒を求め、ミリ秒換算と周期による検算を示す図 — 問題の解説2/3。t1＝（π/4）/（120π）＝1/480 s＝約2.083 msです。

周期との関係で確かめる

この電流の周期は $T=\dfrac{2\pi}{120\pi}=\dfrac{1}{60}\;\mathrm{s}$——周波数60 Hz です。

$$t_1=\frac{1}{480}=\frac{1}{60}\times\frac{1}{8}=\frac{T}{8}$$

周期との比
1周期の $1/8$

1周期は360°なので、その $1/8$ は45°——位相45°という最初の判断と一致します。この確認ができれば、答えに自信が持てます。

「$120\pi$ は60 Hz」という対応も覚えておくと便利です。$\omega=2\pi f$ なので、$\omega=100\pi$ なら50 Hz、$120\pi$ なら60 Hz——日本の商用周波数がそのまま出てきます。

誤答の正体：角度の取り違え

誤り方	使った角度	$\sin\theta$	得られる $t$	選択肢
$\sin\theta=1/2$ と誤る	$\pi/6$	0.5	1/720	選択肢になし
$\sin\theta=\sqrt3/2$ と誤る	$\pi/3$	0.866	1/360	(2)
最大値になる時刻	$\pi/2$	1	1/240	(3)
正しい計算	$\pi/4$	0.707	1/480	(1) ◎

(3)の 1/240 は「最大値になる時刻」です。「4 A になる」を「最大値になる」と読み違えると、この値に着地します。問題文は瞬時値が4 A になる時刻を聞いている——最大値は $4\sqrt2$ であって4ではありません。

⚠️ よくある間違い
$4\sqrt2$ の $\sqrt2$ を見落とすと、「最大値が4 A」と誤解してしまいます。交流の瞬時値の式では、係数が最大値です。$4\sqrt2$ が最大値、4 が実効値——この区別を最初に確認してください。

💡 覚え方
「瞬時値＝実効値になるのは位相45°」——正弦波の性質として覚えておくと、この種の問題は即答できます。$\sin45^\circ=1/\sqrt2$ であり、実効値は最大値の $1/\sqrt2$ だからです。

⏱️ 本番での進め方
❶ 係数から最大値と実効値を読む。$4\sqrt2$ が最大値、4が実効値。
❷ $\sin\theta=1/\sqrt2$ → $\theta=\pi/4$。三角関数の基本値。
❸ $\pi$ は約分される。$t=\dfrac{\pi/4}{120\pi}=\dfrac{1}{480}$。
❹ 周期で検算。$T=1/60$、$t_1=T/8$＝45°。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

深掘り：$\omega$、$f$、$T$ の関係を確実にする

交流の問題では、角周波数・周波数・周期の3つが行き来します。変換をその場で書けるようにしておくと、この種の問題で迷いません。

量	記号	単位	関係式	本問の値
角周波数	$\omega$	rad/s	$\omega=2\pi f$	$120\pi\approx377$
周波数	$f$	Hz	$f=\omega/2\pi$	60 Hz
周期	$T$	s	$T=1/f=2\pi/\omega$	1/60 s ≒ 16.7 ms

$\omega=100\pi$ なら50 Hz、$120\pi$ なら60 Hz——日本の商用周波数がそのまま出てきます。この2つは頻出なので、値を見た瞬間に周波数が浮かぶようにしておいてください。

$\omega=377$ という数値が出てくることもあります。$120\pi=376.99$ なので、60 Hz を意味します。$\omega=314$ なら $100\pi=314.16$ で50 Hz です。

位相と時間の対応を身につける

1周期＝360°＝$2\pi$ radです。この対応を使うと、位相から時間、時間から位相をすぐ換算できます。

位相	1周期に対する割合	本問での時刻（$T=1/60\;\mathrm{s}$）	そのときの瞬時値
0°	0	0 s	0
45°	1/8	1/480 s	実効値 4 A
90°	1/4	1/240 s	最大値 5.66 A
180°	1/2	1/120 s	0