過渡現象24【電験3種理論】スイッチ切り換え後のRC回路の時定数を求める！平成18年度 A問題10 完全解説

2026年7月13日2026年8月1日

電験3種理論科目電気回路（過渡現象）平成18年度 A問題10 スイッチを切り換えた後！時定数は何秒になる？

今回は平成18年度理論科目 A問題10を解説します。E＝10V・R₁＝300Ω・R₂＝100Ω・C＝20μFの回路で、スイッチを①側に閉じてCを充電後、②側に切り換えたときの時定数を求める問題です。

時定数はコンデンサから見た抵抗×C。②側に切り換えると、CはR₂を通して放電するので、Cが見る抵抗はR₂。τ＝CR₂で計算します。

平成18年度理論科目 A問題10：問題文と選択肢

スイッチを切り換えた後、コンデンサから見える回路は一変します。時定数は「Cから見た抵抗」×C——切り離された部品は数えません。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目過渡現象平成18年度 A問題10 問題文 — 平成18年度理論科目 A問題10 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成18年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題10

電験3種理論科目【電気回路（過渡現象）】平成18年度 A問題10

　直流電圧E＝10V、抵抗R₁＝300Ω、R₂＝100Ω、静電容量C＝20μF、スイッチS（①側・②側に切り換え可能）からなる回路がある。スイッチSを①側に閉じてコンデンサを十分に充電した後、②側に切り換えた。②側の回路における時定数τの値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）0.05μs　（2）0.2μs　（3）1.5ms　（4）2.0ms　（5）8.0ms

出題のポイント：時定数は「コンデンサから見た抵抗」で決まる

過渡現象の問題は、回路が複雑に見えても次の一文に集約できます。

過渡現象を貫く原則

$$\tau=R_{\text{eq}}\,C\qquad\left(R_{\text{eq}}=\text{コンデンサの端子から回路側を見た抵抗}\right)$$

※電圧源は短絡、電流源は開放して端子から覗いた抵抗が $R_{\text{eq}}$。テブナン等価抵抗と同じものです。

本問はこの原則を、スイッチの切り換えという形で試しています。①側にいる間と②側に移った後では、コンデンサから見える景色がまるで違うのです。

スイッチの位置	回路の中身	Cから見た抵抗	時定数
①側（充電）	E—R₁—C のループ	R₁＝300 Ω	$R_1C=6.0\;\mathrm{ms}$
②側（放電）	C—R₂ の閉ループ（電源とR₁は切り離される）	R₂＝100 Ω	$R_2C=2.0\;\mathrm{ms}$

充電と放電で時定数が違う——これが本問の隠れたテーマです。同じコンデンサでも、経路の抵抗が変われば速さが変わります。問題が聞いているのは②側の時定数なので、R₁は答えに一切関与しません。

充電時と放電時の切換え回路を分け、切換え後はコンデンサCと抵抗R2だけが閉ループになることを説明 — 切換え後はCとR₂だけの放電ループとなり、R₁と電源は時定数に関係しません。

「Cから見た抵抗」の見つけ方——3ステップ

複雑な回路でも、次の手順を機械的に踏めば $R_{\text{eq}}$ が出ます。

手順	やること	本問での結果
①	コンデンサを回路から外す（端子だけ残す）	R₂の両端が残る
②	電圧源は短絡、電流源は開放に置き換える	②側では電源自体が切り離されている
③	残った端子から回路側の合成抵抗を求める	R₂＝100 Ωだけ

②側に切り換えた瞬間、電源EとR₁は物理的に回路から離れます。導線がつながっていないので、電流の通り道になりようがありません。「回路図に描いてある＝計算に使う」ではないのです。

もしスイッチがなく、R₁とR₂が両方つながったままなら話は変わります。電圧源を短絡して見れば $R_1\parallel R_2=75\;\Omega$ となり、τ＝1.5 msになります——これがちょうど選択肢(3)です。選択肢は「別の回路の正解」で構成されていると分かります。

問題の解説：放電の式から時定数を読み取る

STEP1　②側の回路方程式を立てる

②側ではCとR₂だけの閉ループです。キルヒホッフの電圧則を書くと、

$$v_C+R_2\,i=0,\qquad i=-C\frac{dv_C}{dt}$$

❶ KVLと電流の定義
放電なので電流の向きに注意

$$R_2C\frac{dv_C}{dt}+v_C=0$$

❷ 微分方程式
係数 $R_2C$ がそのまま時定数

$$v_C(t)=V_0\,e^{-t/(R_2C)}$$

❸ 解
指数の分母が時定数

時定数は「指数の肩の分母」です。微分方程式を立てさえすれば、解かなくても $dv/dt$ の係数を見るだけで τ が読み取れます。

STEP2　数値を代入して単位を揃える

$$\tau=R_2C=100\times20\times10^{-6}$$

❹ 代入
μ＝$10^{-6}$ を必ず書き下す

$$=2000\times10^{-6}=2.0\times10^{-3}\;[\mathrm{s}]=2.0\;[\mathrm{ms}]$$

❺ 整理
ms（ミリ秒）のオーダー

桁の目安：「Ω×μF＝μ秒」と覚えておくと速いです。$100\;\Omega\times20\;\mu\mathrm{F}=2000\;\mu\mathrm{s}=2\;\mathrm{ms}$ と暗算できます。

STEP3　放電の様子を確認する

$$V_0=10\;[\mathrm{V}]$$

❻ 放電開始電圧
①側で満充電（電流0なのでR₁の降下も0）

$$i(0)=\frac{V_0}{R_2}=\frac{10}{100}=0.10\;[\mathrm{A}]$$

❼ 初期放電電流
R₂だけが電流を制限する

$$5\tau=10\;[\mathrm{ms}]$$

❽ 放電完了の目安
10ミリ秒でほぼ0 Vに

放電電流の向きと符号を定義し、KVLとコンデンサ式から時定数R2Cを導出 — 放電式vC=V0 exp(−t/R₂C)から、時定数はτ=R₂Cです。

答え$\tau=R_2C=2.0\;[\mathrm{ms}]$　→　選択肢(4)

R2とCを数値代入し、マイクロとミリの単位換算、次元確認、選択肢との照合を説明 — τ=100Ω×20μF=2.0msなので正解は（4）です。

コンデンサ電圧と放電電流の時間変化、代表時刻の数値、エネルギー消費をグラフと表で説明 — 電圧と電流は時定数2.0msで指数減衰し、初期エネルギーはR₂で消費されます。

誤答の正体：4つとも「実在する計算」の答え

残り4つの選択肢がどの計算から出るかを実際に確かめました。すべてぴったり一致します。

選択肢	τ	その値が出る計算	誤りの種類	判定
(1)	0.05 μs	$C\div(R_1+R_2)=20\mu/400$	割り算＋R₁も足した（二重の誤り）	×
(2)	0.2 μs	$C\div R_2=20\mu/100$	掛け算と割り算の取り違え	×
(3)	1.5 ms	$(R_1\parallel R_2)\times C=75\times20\mu$	R₁とR₂が並列に残ると誤解	×
(4)	2.0 ms	$R_2\times C=100\times20\mu$	正解	○
(5)	8.0 ms	$(R_1+R_2)\times C=400\times20\mu$	R₁が直列に残ると誤解	×

(3)と(5)が「R₁をどう扱うか」の2つの誤りを、(1)と(2)が「掛けるか割るか」の誤りを担当しています。作問者は、受験者がつまずく2つの軸を選択肢に配置しているわけです。

μsとmsの取り違えにも注意してください。(1)(2)はμsオーダー、(3)(4)(5)はmsオーダーと、桁が1000倍違います。まず「μsかmsか」を単位から絞るだけで、5択が2択・3択に減ります。

充電と放電、どちらが速いか

本問の回路では放電のほうが3倍速いことになります。

	経路の抵抗	時定数	5τ（完了の目安）
充電（①側）	R₁＝300 Ω	6.0 ms	30 ms
放電（②側）	R₂＝100 Ω	2.0 ms	10 ms

この非対称性は実務でよく使われます。たとえばタイマー回路では、充電経路と放電経路にそれぞれ別のダイオードと抵抗を仕込み、「ゆっくり立ち上がって素早く落ちる」といった動作を作ります。本問はその原理そのものです。

なお「十分に充電した後」という文言が重要です。これがあるおかげで放電開始時の電圧が電源電圧10 Vそのものと確定します。もし中途半端な時点で切り換えたなら、その時点の電圧を計算するところから始めなければなりません。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① スイッチが切り換わったら切換え後の回路だけを描き直す。切り離された部品は消してしまう
② τのRは「Cから見た抵抗」。電圧源は短絡して端子から覗く
③ 「Ω×μF＝μs」で桁を暗算。$100\times20\mu=2000\mu\mathrm{s}=2\;\mathrm{ms}$
④ 選択肢の単位（μs／ms）を先に見て候補を絞る
⑤ 迷ったら $R_1+R_2$・$R_1\parallel R_2$・$R_2$ の3通りを計算し、回路図と照合する

💡 覚え方
「切り換えたら描き直す」。②側の図に電源とR₁を描かなければ、そもそも足す誤りが起きません。消しゴムで消すのが最強の対策です。

⚠️ よくある間違い
最頻出はR₁を足して8.0 msとする誤り（選択肢(5)）です。「回路図に描いてあるから使うはず」という思い込みが原因ですが、スイッチで切り離された部品に電流は流れません。次に多いのが並列と勘違いして1.5 ms（選択肢(3)）。②側でR₁は電源側に取り残されており、Cとつながっていません。