同期機17【電験3種 機械】誘導起電力の公式を導く穴埋め！令和2年 A問題4 完全解説

今回は令和2年度 機械科目 A問題4を解説します。回転界磁形三相同期発電機の無負荷誘導起電力の公式 \(E=4.44k_wf\phi N\) を、\(e=Blv\) から順に導く穴埋め問題です。

1本の導体の起電力 \(e=Blv\) から出発し、実効値・巻数・巻線係数を掛けていく流れを押さえましょう。

問題文と選択肢

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和2年度 第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題4

　次の文章は，回転界磁形三相同期発電機の無負荷誘導起電力に関する記述である。

　回転磁束を担う回転子磁極の周速を \(v\) [m/s]，磁束密度の瞬時値を \(b\) [T]，磁束と直交する導体の長さを \(l\) [m] とすると，1本の導体に生じる誘導起電力 \(e\) は \(e=vbl\) と表される。極数を \(p\)，固定子内側の直径を \(D\) [m] とすると，極ピッチ \(\tau=\pi D/p\) であるから，\(f\) [Hz] の起電力を生じる場合の周速 \(v\) は \(v=\)(ア) である。したがって \(b(t)=B_m\sin\omega t\) とすると，導体1本当たりの瞬時値は \(e(t)=E_m\sin\omega t\)，\(E_m=\)(ア)\(B_m l\) となる。

　回転磁束の空間分布が正弦波でその最大値が \(B_m\) のとき，1極の磁束密度の(イ) \(B\) は \(B=\dfrac{2}{\pi}B_m\) であるから，1本の導体に生じる起電力の実効値は \(\dfrac{E_m}{\sqrt2}=\dfrac{\pi}{\sqrt2}f\phi=2.22f\phi\) と表せる。よって1相当たりの巻数を \(N\) とすると，誘導起電力（実効値）\(E\) は \(E=\)(ウ)\(f\phi N\) となる。

　さらに，電機子巻線には一般に短節巻と分布巻が採用されるので，これらを考慮した場合，1相当たりの誘導起電力 \(E\) は \(E=\)(ウ)\(k_w f\phi N\) となる。ここで \(k_w\) を(エ)という。空白箇所（ア）〜（エ）に当てはまる組合せとして正しいものを一つ選べ。

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）
(1)	\(2\tau f\)	平均値	2.22	巻線係数
(2)	\(2\pi f\)	最大値	4.44	分布係数
(3)	\(2\tau f\)	平均値	4.44	巻線係数
(4)	\(2\pi f\)	最大値	2.22	短節係数
(5)	\(2\tau f\)	実効値	2.22	巻線係数

出題のポイント：4.44 という定数がどこから来るかを追う

本問は、誘導起電力の公式 E＝4.44k_wfφN をゼロから組み立てる過程を穴埋めさせる問題です。公式を暗記しているだけでは（ア）（イ）が埋まりません——逆に、導出の筋道を1度たどっておけば全問正解できます。

空欄	問われている段階	必要な知識
（ア）	導体の周速を f と τ で表す	1周期で2極分進む＝2τ 進む
（イ）	2/π Bm が何の値か	正弦波の半周期の平均値
（ウ）	1相分の係数	2.22×2（1巻＝導体2本）＝4.44
（エ）	kw の名前	短節係数と分布係数の積＝巻線係数

（ア）周速を周波数で表す

磁極が導体の前を通り過ぎるとき、N極とS極が1つずつ通れば起電力は1周期分変化します。N極とS極を合わせた長さは、極ピッチ τ の2つ分＝2τ——これを1周期（1/f 秒）で通過するのですから、

☝️ ひっかけの作り方：選択肢にある 2πf は角速度 ω の形で、それらしく見えますが、単位が [rad/s] であって [m/s] ではありません。周速は長さ÷時間ですから、長さの次元を持つ τ が入っていなければおかしい——単位を見るだけで(2)(4)が消えます。

（イ）2/π は平均値

正弦波 B_msin θ を半周期（0〜π）で平均すると 2B_m/πになります。これは正弦波の「平均値」として知られる値です。

正弦波の代表値	最大値との関係	数値
最大値	Bm	1.000 Bm
実効値	Bm/√2	0.707 Bm
平均値（半周期）	2Bm/π	0.637 Bm

2/π≒0.637 は平均値、1/√2≒0.707 は実効値——数字の形で見分けられます。ここで「実効値」を選ぶと(5)になりますが、磁束は空間分布を1極分ならした値（＝平均値）で扱うのが正しい理解です。

なぜ平均値なのか——1極当たりの磁束 φ は、磁束密度を極の面積で積分したものだからです。積分して面積で割れば、それは平均値——実効値は電力を扱うときの量で、磁束の総量とは無関係です。

（ウ）2.22 が 4.44 になる理由

問題文は導体1本当たりの起電力を 2.22fφ と出しています。ところが求めたいのは1相当たりの起電力——巻数 N のコイルには導体が 2N 本あることに注意します。

4.44 が 2.22 の2倍である理由が、ここではっきりします。コイルの往路と復路、2本の導体の起電力が足し合わさる——だから係数が2倍になるのです。4.44＝√2π と覚えても、2.22 の2倍と覚えても、どちらでも構いません。

（エ）巻線係数という総称

短節巻による目減りが短節係数 k_p、分布巻による目減りが分布係数 k_d——その積 k_w＝k_pk_d が巻線係数です。

☝️ ひっかけの作り方：問題文は「短節巻と分布巻を採用したので、これらを考慮した」と書いています。両方を考慮しているのですから、片方だけの名前（短節係数・分布係数）では不足——2つをまとめた総称である巻線係数が正解です。問題文の「これら」という複数形が手がかりになっています。

変圧器の式と並べると、違いは巻線係数だけ

4.44 という係数は、変圧器の起電力の式にも出てきます。2つを並べると、回転機に固有の要素がどこにあるかがはっきりします。

	変圧器	同期機（回転機）
起電力の式	\( E=4.44fN\phi \)	\( E=4.44k_w fN\phi \)
磁束の変化のさせ方	交流で磁束を増減させる	磁極が動いて鎖交磁束が変わる
巻線の配置	1か所に集中	複数スロットに分散（分布巻・短節巻）
係数	なし（kw＝1）	kw＝kdkp≒0.9〜0.96

変圧器の巻線は鉄心に集中して巻かれているので、すべての巻きが同じ位相の起電力を発生します——だから単純に足せて、係数は1です。

回転機は巻線を分散させ、しかもコイル幅を縮めています。すると各巻きの起電力に位相差が生まれ、単純な和より小さくなる——その目減りを表すのが巻線係数でした。

「4.44 は正弦波磁束が巻線を鎖交するときの普遍的な係数、巻線係数は回転機だけの補正」——この対比で覚えておくと、2つの式を混同しません。変圧器の問題で k_w を掛けたり、同期機の問題で忘れたりする事故が防げます。

なお本問の導出では φ が「1極当たりの磁束」である点も重要です。変圧器の φ は「鉄心を通る磁束」で、極という概念はありません——同じ記号でも指すものが違うことに注意してください。

関連問題：この公式を使って計算する年もある

本問は公式を導く側でしたが、令和5年上期 A問題6では同じ公式を使って計算させています（同期機19：無負荷誘導起電力（線間）を求める）。導出を理解しておけば、係数を取り違えることはありません。

また、巻線係数の中身（短節巻・分布巻）そのものが問われる年もあります（同期機54：電機子巻線法（分布巻・短節巻）の穴埋め）。1つのテーマが、導出・計算・論説の3通りの形で出題されている——まとめて押さえると効率がよい領域です。

まとめ

（ア）	\(2\tau f\)（\(v=2\tau f\) を \(e=Blv\) へ）
（イ）	平均値（\(B=\tfrac{2}{\pi}B_m\)）
（ウ）	4.44（1巻きコイル）
（エ）	巻線係数 \(k_w\)
答え	(3)

▼あわせて解きたい関連問題
・無負荷誘導起電力の計算：【機械】令和5年度上期A問題6
・内部誘導起電力の計算：【機械】平成20年度A問題5