同期機17【電験3種 機械】誘導起電力の公式を導く穴埋め！令和2年 A問題4 完全解説

今回は令和2年度 機械科目 A問題4を解説します。回転界磁形三相同期発電機の無負荷誘導起電力の公式 \(E=4.44k_wf\phi N\) を、\(e=Blv\) から順に導く穴埋め問題です。

1本の導体の起電力 \(e=Blv\) から出発し、実効値・巻数・巻線係数を掛けていく流れを押さえましょう。

問題文と選択肢

　次の文章は，回転界磁形三相同期発電機の無負荷誘導起電力に関する記述である。

　回転磁束を担う回転子磁極の周速を \(v\) [m/s]，磁束密度の瞬時値を \(b\) [T]，磁束と直交する導体の長さを \(l\) [m] とすると，1本の導体に生じる誘導起電力 \(e\) は \(e=vbl\) と表される。極数を \(p\)，固定子内側の直径を \(D\) [m] とすると，極ピッチ \(\tau=\pi D/p\) であるから，\(f\) [Hz] の起電力を生じる場合の周速 \(v\) は \(v=\lt span style=”border:1px solid #888;border-radius:3px;padding:0.04em 0.55em;margin:0 0.15em;font-weight:600;background:#fafafa;”\gt (ア)\lt /span\gt \) である。したがって \(b(t)=B_m\sin\omega t\) とすると，導体1本当たりの瞬時値は \(e(t)=E_m\sin\omega t\)，\(E_m=\lt span style=”border:1px solid #888;border-radius:3px;padding:0.04em 0.55em;margin:0 0.15em;font-weight:600;background:#fafafa;”\gt (ア)\lt /span\gt B_m l\) となる。

　回転磁束の空間分布が正弦波でその最大値が \(B_m\) のとき，1極の磁束密度の(イ) \(B\) は \(B=\dfrac{2}{\pi}B_m\) であるから，1本の導体に生じる起電力の実効値は \(\dfrac{E_m}{\sqrt2}=\dfrac{\pi}{\sqrt2}f\phi=2.22f\phi\) と表せる。よって1相当たりの巻数を \(N\) とすると，誘導起電力（実効値）\(E\) は \(E=\lt span style=”border:1px solid #888;border-radius:3px;padding:0.04em 0.55em;margin:0 0.15em;font-weight:600;background:#fafafa;”\gt (ウ)\lt /span\gt f\phi N\) となる。

　さらに，電機子巻線には一般に短節巻と分布巻が採用されるので，これらを考慮した場合，1相当たりの誘導起電力 \(E\) は \(E=\lt span style=”border:1px solid #888;border-radius:3px;padding:0.04em 0.55em;margin:0 0.15em;font-weight:600;background:#fafafa;”\gt (ウ)\lt /span\gt k_w f\phi N\) となる。ここで \(k_w\) を(エ)という。空白箇所（ア）〜（エ）に当てはまる組合せとして正しいものを一つ選べ。

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）
(1)	\(2\tau f\)	平均値	2.22	巻線係数
(2)	\(2\pi f\)	最大値	4.44	分布係数
(3)	\(2\tau f\)	平均値	4.44	巻線係数
(4)	\(2\pi f\)	最大値	2.22	短節係数
(5)	\(2\tau f\)	実効値	2.22	巻線係数

出題のポイント：e＝vblから4.44の係数まで順に導く

導出は、導体起電力e＝vbl、周速v＝2τf、1極の平均磁束密度B＝2Bm／πの順に進めます。導体1本の実効値は2.22fφですが、1巻きには直列に加算される有効導体辺が2本あるため4.44fφです。短節巻と分布巻の効果を巻線係数kwでまとめると、1相の起電力はE＝4.44kwfφNとなります。

ポイント解説：2.22は導体1本、4.44は1巻きの実効値

導体1本の起電力 \(e=Blv\) が出発点です。周速 \(v=2\tau f\)（極ピッチ\(\times\)2\(\times\)周波数）を代入して最大値 \(E_m=2\tau f B_m l\)。正弦波分布の1極の平均磁束密度 \(B=\dfrac{2}{\pi}B_m\) を使うと、1本の実効値は \(2.22f\phi\)、1巻きコイル（2本直列）で \(4.44f\phi\)。

$$E=4.44\,f\phi N\ \xrightarrow{\ 短節巻・分布巻\ }\ E=4.44\,k_w f\phi N$$

問題の解説：2τf・平均値・4.44・巻線係数を確定する

STEP1　（ア）周速と最大値

\(f\) [Hz] の起電力を生じる周速は \(v=2\tau f\)。よって \(E_m=2\tau f B_m l\)。（ア）＝\(2\tau f\)。

STEP2　（イ）1極の平均磁束密度

正弦波分布の1極の平均値は \(B=\dfrac{2}{\pi}B_m\)。（イ）＝平均値。

STEP3　（ウ）（エ）実効値と巻線係数

1本の実効値 \(2.22f\phi\)、1巻き（2本）で \(4.44f\phi\)、巻数 \(N\) で \(E=4.44f\phi N\)。（ウ）＝4.44。短節巻・分布巻を考慮した係数 \(k_w\) は（エ）＝巻線係数。

以上より、正しい組合せは (3)　\(2\tau f\)／平均値／4.44／巻線係数です。

答え：(3)

まとめ

（ア）	\(2\tau f\)（\(v=2\tau f\) を \(e=Blv\) へ）
（イ）	平均値（\(B=\tfrac{2}{\pi}B_m\)）
（ウ）	4.44（1巻きコイル）
（エ）	巻線係数 \(k_w\)
答え	(3)

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