電気及び電子計測32【電験3種理論】直流電圧計の倍率器と計器の内部抵抗による指示値を計算する！平成24年度 B問題17 完全解説

2026年7月15日2026年8月9日

電験3種理論科目電気及び電子計測平成24年度 B問題17 倍率器をつないだ電圧計！指示値は何Vになる？

今回は平成24年度理論科目 B問題17（選択問題）を解説します。最大目盛1V・内部抵抗1000Ωの電圧計を(a)15Vレンジにする倍率器を求め、(b)その電圧計で回路の電圧を測ったときの指示値（計器の内部抵抗による影響込み）を求める問題です。

倍率器は「測定範囲を何倍にするか」で決まります（Rm=(m−1)rv）。(b)では電圧計自身の内部抵抗（rv+Rm=15kΩ）が回路に電流を流すため、真の電圧より低い指示になる点がポイント。ミルマンの定理が便利です。

平成24年度理論科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目電気及び電子計測平成24年度 B問題17 問題文 — 平成24年度理論科目 B問題17 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成24年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 B問題17

電験3種理論科目【電気及び電子計測】平成24年度 B問題17

　直流電圧計について、次の(a)及び(b)の問に答えよ。(a) 最大目盛1V、内部抵抗r_v=1000Ωの電圧計がある。この電圧計を用いて最大目盛15Vの電圧計とするための倍率器の抵抗R_m[kΩ]を求める。(b) 図のような回路で、上記の最大目盛15Vの電圧計を接続して電圧を測ったときの電圧計の指示[V]を求める。

(a) 最大目盛1V・内部抵抗r_v=1000Ωの電圧計を最大目盛15Vにするための倍率器の抵抗R_m[kΩ]の値として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）12　（2）13　（3）14　（4）15　（5）16 kΩ

(b) 図の回路で上記の最大目盛15Vの電圧計を接続して電圧を測ったときの電圧計の指示[V]として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）7.2　（2）8.7　（3）9.4　（4）11.3　（5）13.1 V

図　10kΩ・30kΩ・電源16V・4Vからなる回路に最大目盛15Vの電圧計を接続（問題図）

出題のポイント：電圧計をつなぐと電圧が下がる

(a)は倍率器の公式1本です。$R_m=(m-1)r_v=14\times1000=14\ \mathrm{k\Omega}$——ここは確実に取りたいところ。

(b)は「電圧計を含めた回路」を解きます。電圧計の内部抵抗 15 kΩ が回路に並列に入るので、つながないときより電圧が下がります。

倍率器と節点方程式

$$R_m=(m-1)r_v,\qquad m=\frac{V_{\text{新}}}{V_{\text{旧}}}$$$$\frac{16-V}{10\mathrm{k}}+\frac{4-V}{30\mathrm{k}}=\frac{V}{15\mathrm{k}}$$

※電圧計も1つの抵抗として回路に描き込む——そうすれば普通の節点方程式で解けます。

解説(a)：倍率器の抵抗

$$m=\frac{15}{1}=15$$

❶ 倍率

$$R_m=(m-1)r_v=14\times1000=14\,000\ \Omega=14\ \mathrm{k\Omega}$$

❷ 倍率器

答え(a) $R_m=14\ \mathrm{k\Omega}$　→　選択肢(3)

別解：フルスケール電流は $1\ \mathrm{V}/1000\ \Omega=1\ \mathrm{mA}$。15 V で 1 mA が流れるには全体で 15 kΩ——そこから計器の 1 kΩ を引いて 14 kΩ。こちらのほうが意味が分かりやすいでしょう。

解説(b)：電圧計を含めて節点方程式を立てる

電圧計の内部抵抗は「計器 1 kΩ ＋倍率器 14 kΩ ＝ 15 kΩ」です。これを回路図に抵抗として描き込みます。

$$\frac{16-V}{10\times10^{3}}+\frac{4-V}{30\times10^{3}}=\frac{V}{15\times10^{3}}$$

❶ 節点方程式
下側の節点を 0 V とする

$$3(16-V)+(4-V)=2V$$

❷ 30 k を掛ける
分母を払う

$$48-3V+4-V=2V\ \Rightarrow\ 52=6V$$

❸ 整理

$$V=\frac{52}{6}\fallingdotseq8.7\ \mathrm{V}$$

❹ 答え

答え(b) 電圧計の指示 $\fallingdotseq8.7\ \mathrm{V}$　→　選択肢(2)

電圧計をつながないときの節点電圧は 13.0 V です。電圧計をつないだせいで 8.7 V まで下がっている——4.3 V も下がっており、測定が対象を大きく乱しています。

誤答の正体：電圧計を無視するかどうか

選択肢	値	どう考えると出るか
(1)	7.2 V	—
(2)	8.7 V	◎ 電圧計 15 kΩ を含めて計算
(3)	9.4 V	—
(4)	11.3 V	—
(5)	13.1 V	★電圧計を無視した節点電圧（開放電圧 13.0 V）

(5)の 13.1 V が最頻誤答です。電圧計を「ただの測定器」と考えて回路から外して計算すると、この値になります。

本問の主題はまさにそこ——「電圧計にも内部抵抗があり、回路の一部になる」ことを確かめさせる問題です。(a)で 15 kΩ を作らせたのはこのためです。

⚠️ よくある間違い
電圧計を回路図に描き込むのを忘れないでください。「理想的な電圧計」と書かれていなければ、内部抵抗を考えるのが原則です。本問は(a)でわざわざ内部抵抗を計算させているので、使わないはずがありません。

深掘り①：テブナンの定理で見通しよく

$$V_{\text{開放}}=\frac{16/10\mathrm{k}+4/30\mathrm{k}}{1/10\mathrm{k}+1/30\mathrm{k}}=13.0\ \mathrm{V}$$

❶ 電圧計を外した電圧
ミルマンの定理

$$R_{\text{内部}}=10\mathrm{k}\parallel30\mathrm{k}=7.5\ \mathrm{k\Omega}$$

❷ 電源を短絡して見た抵抗

$$V=13.0\times\frac{15}{7.5+15}=13.0\times\frac{2}{3}=8.7\ \mathrm{V}$$

❸ 分圧
電圧計をつないだときの値

テブナン等価回路にすると「開放電圧 13.0 V、内部抵抗 7.5 kΩ」。そこに 15 kΩ の電圧計をつなげば、単純な分圧になります。

内部抵抗 7.5 kΩ に対して電圧計が 15 kΩ——2倍しかないので大きく引っ張られます。電圧計が 10 MΩ なら 12.99 V とほぼ真値です。

深掘り②：電圧計の負荷効果を数字で

$$\frac{V_{\text{指示}}}{V_{\text{開放}}}=\frac{R_v}{R_{\text{内部}}+R_v}$$

❶ 分圧比

電圧計の内部抵抗 $R_v$	指示値	誤差
15 kΩ（本問）	8.7 V	-33 %
150 kΩ	12.4 V	-4.8 %
1.5 MΩ	12.94 V	-0.5 %
10 MΩ（ディジタル）	12.99 V	-0.07 %

「回路の内部抵抗の10倍以上」が電圧計を選ぶときの最低ラインです。本問は2倍しかないので実用上は使えません——誤差を意識させるための設定です。

高抵抗回路（電子回路など）を測るときほど、入力抵抗の高い計器が必要になります。平成25年度A問題14で問われた「ディジタル計器の入力抵抗は高い」——その利点がここで効いてきます。

深掘り③：倍率器の設計

$$I_{\text{fs}}=\frac{V_{\text{旧}}}{r_v}=\frac{1}{1000}=1\ \mathrm{mA}$$

❶ フルスケール電流
計器そのものの感度

$$R_{\text{全}}=\frac{V_{\text{新}}}{I_{\text{fs}}}=\frac{15}{10^{-3}}=15\ \mathrm{k\Omega}$$

❷ 必要な全抵抗

$$R_m=R_{\text{全}}-r_v=15-1=14\ \mathrm{k\Omega}$$

❸ 倍率器

この計器の感度は $15\,000/15=1000\ \Omega/\mathrm{V}$。倍率器を付けてもこの値は変わりません——感度は計器そのものの性質です。

感度を上げるには、フルスケール電流の小さい計器を使うしかありません。$1\ \mathrm{mA}$ より $50\ \mathrm{\mu A}$ の計器のほうが $20\ \mathrm{k\Omega/V}$ と高感度です。

💡 覚え方
電圧計は回路の一部——内部抵抗を描き込んでから解く。テブナン等価にすれば「開放電圧×分圧比」の1行で済みます。回路の内部抵抗の10倍以上の入力抵抗がないと、まともに測れません。

深掘り④：ミルマンの定理を使うと速い

$$V=\frac{\sum E_k/R_k}{\sum1/R_k}$$

❶ ミルマンの定理
複数の電源が1点に集まる形

$$V=\frac{16/10+4/30+0/15}{1/10+1/30+1/15}\ [\mathrm{k\Omega}]$$

❷ 電圧計も1つの枝として扱う
起電力ゼロの枝

$$=\frac{1.6+0.1333}{0.1+0.0333+0.0667}=\frac{1.7333}{0.2}=8.67\ \mathrm{V}$$

❸ 計算

電圧計を「起電力ゼロ・抵抗 15 kΩ の枝」として扱えば、ミルマンの定理1本で終わります。節点方程式を移項する手間がありません。

この形（複数の電源が1つの節点に集まる）はミルマンの独壇場です。令和4年度上期A問題13のシュミットトリガでも使いました。

⏱️ 本番での進め方
❶ (a)は $R_m=(m-1)r_v$——または「全体 15 kΩ から 1 kΩ を引く」。
❷ (b)は電圧計 15 kΩ を回路に描き込む——これを忘れると(5)。
❸ ミルマンの定理か節点方程式で一気に解く。
❹ 検算：電圧計なしなら 13.0 V——それより低くなるはず。

出題履歴：倍率器と負荷効果はセットで問われる

「倍率器を計算させてから、その電圧計で測らせる」という2段構えは、負荷効果を実感させる定番の作りです。平成30年度B問題18・令和5年度上期B問題16でも、電圧計の内部抵抗が主役でした。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

まとめ

(a)倍率器	Rm=(15−1)×1000=14kΩ→(3)
電圧計全体	rv+Rm=15kΩ
ミルマン	V=(16/10+4/30)/(1/10+1/30+1/15)
(b)指示	1.733/0.2=8.67≒8.7V→(2)

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・電気計測機器の正誤（電気及び電子計測31）：【理論】平成24年度 A問題14