電気及び電子計測20【電験3種理論】二重積分形A-D変換器のディジタル直流電圧計を攻略する！令和元年度 B問題18 完全解説

2026年7月15日2026年8月9日

電験3種理論科目電気及び電子計測令和元年度 B問題18 二重積分形A-D変換器！ディジタル電圧計の中身は？

今回は令和元年度理論科目 B問題18（選択問題）を解説します。二重積分形A-D変換器を用いたディジタル直流電圧計について、(a)積分動作の式（空欄）と、(b)クロックパルス数から未知電圧V_xを求める問題です。

二重積分形は、まず未知電圧V_xを一定時間T₁積分し、次に基準電圧−V_rで積分出力を0に戻すまでの時間T₂を測る方式。T₁とT₂（＝クロックパルス数N₁、N₂）の比からV_xが求まります。

令和元年度理論科目 B問題18：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目電気及び電子計測令和元年度 B問題18 問題文 — 令和元年度理論科目 B問題18 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和元年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 B問題18

電験3種理論科目【電気及び電子計測】令和元年度 B問題18

　図1は、二重積分形A-D変換器を用いたディジタル直流電圧計の原理図である。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 負の基準電圧−V_r（V_r>0）と切換スイッチが接続された回路で、正の未知電圧V_x（>0）を測定する。スイッチがS₁側でt=0から測定電圧V_xが積分器へ入力される（図2(a)(b)）。t=T₁での出力電圧はV_m=（ア）。次にS₂側に切り換わり基準電圧−V_rが入力され、積分器出力の大きさはV_o=V_m−（イ）。V_o=0となる時刻t=T₁+T₂で測定電圧はV_x=（ウ）。クロックパルスの周期T_sは発振器の動作周波数に（エ）する。

(a) 空白箇所(ア)(イ)(ウ)(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（ア）（イ）（ウ）（エ）
(1) kV_xT₁ kV_r(t−T₁) (T₂/T₁)V_r 反比例
(2) kV_xT₁ kV_rT₂ (T₂/T₁)V_r 反比例
(3) kV_x/T₁ kV_r/T₂ (T₁/T₂)V_r 比例
(4) kV_x/T₁ kV_r/T₂ (T₁/T₂)V_r 反比例
(5) kV_xT₁ kV_r(t−T₁) T₁T₂V_r 比例

(b) V_r=2.0V、S₁期間T₁中のクロックパルス数N₁=1.0×10³のディジタル電圧計で、未知電圧測定時にS₂期間T₂中のパルス数N₂=2.0×10³であった。測定電圧V_x[V]として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）0.5　（2）1.0　（3）2.0　（4）4.0　（5）8.0 V

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）
(1)	kV_xT₁	kV_r(t−T₁)	(T₂/T₁)V_r	反比例
(2)	kV_xT₁	kV_rT₂	(T₂/T₁)V_r	反比例
(3)	kV_x/T₁	kV_r/T₂	(T₁/T₂)V_r	比例
(4)	kV_x/T₁	kV_r/T₂	(T₁/T₂)V_r	反比例
(5)	kV_xT₁	kV_r(t−T₁)	T₁T₂V_r	比例

図1　二重積分形A-D変換器の原理図　図2　入力・積分出力・クロックパルスの時間変化（問題図）

出題のポイント：積分定数もクロック周期も約分で消える

二重積分形は「測定電圧で一定時間積分し、基準電圧で逆向きに積分して戻る時間を測る」方式です。2回積分するから「二重積分」。

2回とも同じ積分回路を使うので、積分定数 $k$ が約分で消えます。抵抗やコンデンサの値がずれていても結果に影響しない——これが高精度の理由です。

二重積分形A-D変換の原理

$$V_m=kV_xT_1\quad(\text{測定電圧を}\ T_1\ \text{だけ積分})$$$$V_o=V_m-kV_r(t-T_1)=0\ \Rightarrow\ V_x=\frac{T_2}{T_1}V_r$$

※$k$ が両辺に出るので約分。残るのは時間の比と基準電圧だけです。

解説(a)：4つの空欄を順に埋める

(ア) $T_1$ 後の積分器出力 $V_m$

一定電圧 $V_x$ を時間 $T_1$ だけ積分すると、出力は時間に比例して直線的に増えます。傾きが $kV_x$ なので、$T_1$ 後には $kV_xT_1$。

(イ) 基準電圧に切り換えたあとの出力

今度は $-V_r$ を積分するので、出力は逆向きに直線的に減っていきます。$t=T_1$ を起点に $kV_r(t-T_1)$ だけ減る——だから $V_o=V_m-kV_r(t-T_1)$。

$kV_rT_2$ ではありません。$T_2$ は「$V_o=0$ になるまでの時間」で、まだ確定していない——この段階では変数 $t$ で書きます。

(ウ) $V_o=0$ となる条件から $V_x$ を求める

$$0=kV_xT_1-kV_rT_2$$

❶ $t=T_1+T_2$ で $V_o=0$

$$kV_xT_1=kV_rT_2$$

❷ 移項
$k$ が両辺にある

$$V_x=\frac{T_2}{T_1}V_r$$

❸ 約分して解く
$k$ が消える

(エ) クロックパルスの周期 $T_s$ と発振周波数の関係

周期と周波数は逆数の関係です。$T_s=1/f$——周波数が高いほど周期は短い＝反比例。

答え(a) $kV_xT_1$・$kV_r(t-T_1)$・$(T_2/T_1)V_r$・反比例　→　選択肢(1)

解説(b)：パルス数の比がそのまま時間の比

$$T_1=N_1T_s,\quad T_2=N_2T_s$$

❶ 時間はパルス数×周期
同じクロックで数える

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{N_2T_s}{N_1T_s}=\frac{N_2}{N_1}$$

❷ $T_s$ も約分
クロックのずれも影響しない

$$V_x=\frac{N_2}{N_1}V_r=\frac{2.0\times10^{3}}{1.0\times10^{3}}\times2.0=4.0\ \mathrm{V}$$

❸ 答え

答え(b) $V_x=4.0\ \mathrm{V}$　→　選択肢(4)

$k$ も $T_s$ も約分で消えます。結果を決めるのは「パルス数の比」と「基準電圧」だけ——基準電圧の精度がそのまま測定精度になります。

誤答の正体：比の向きと約分

選択肢	値	どう間違えると出るか
(1)	0.5 V	$(N_1/N_2)\times V_r/2$ など
(2)	1.0 V	★$N_1/N_2\times V_r=0.5\times2.0$——比が逆
(3)	2.0 V	$V_r$ をそのまま答えた
(4)	4.0 V	◎ $(N_2/N_1)V_r=2\times2.0$
(5)	8.0 V	$N_2/N_1\times2V_r$ など

(2)が最頻誤答です。$T_2/T_1$ と $T_1/T_2$ のどちらか——「測定電圧が大きいほど戻るのに時間がかかる」と考えれば、$V_x\propto T_2$ だと分かります。

物理的なイメージで確認できます。$V_x$ が大きい → $T_1$ で高くまで積み上がる → 戻すのに長い $T_2$ が要る。だから $V_x$ と $T_2$ は比例です。

⚠️ よくある間違い
(a)の(イ)で $kV_rT_2$ を選んでしまうのもよくある誤りです。$T_2$ は「$V_o=0$ になるまでの時間」で、その時点ではまだ決まっていません。途中経過を表す式なので、変数 $t$ を使う——選択肢(2)との違いはここです。

深掘り①：なぜ二重積分形は精度が高いのか

誤差の原因になりそうなもの	結果への影響	理由
積分定数 $k$（$=1/CR$）	なし	2回とも同じ回路なので約分
クロック周期 $T_s$	なし	両方を同じクロックで数えるので約分
基準電圧 $V_r$	そのまま効く	唯一の基準だから
積分器のオフセット	わずかに効く	補正回路で対処

「精度を決めるのは基準電圧だけ」——これが二重積分形の設計思想です。高精度な基準電圧源（ツェナーダイオードなど）を1つ用意すればよいことになります。

抵抗やコンデンサの値が温度で変わっても結果は変わりません。安価な部品で高精度が実現できる——ディジタルマルチメータの定番方式である理由です。

深掘り②：商用周波数の雑音に強い理由

$T_1$（積分時間）を商用周波数の周期の整数倍にすると、電源からの雑音がきれいに消えます。1周期分を積分すれば平均がゼロだからです。

$$T_1=n\times\frac{1}{50}\ \mathrm{s}\quad(n=1,2,\ldots)$$

❶ 50 Hz 地域
20 ms の整数倍

$$\int_0^{T_1}\sin(2\pi\times50\,t)\,dt=0$$

❷ 雑音の積分
完全に打ち消される

50 Hz と 60 Hz の両方に対応するには、100 ms（20 ms と 16.7 ms の公倍数）を使います。だから高精度なDMMは1秒に数回しか測定できません——速度と引き換えの精度です。

この「積分して平均する」という動作が、雑音除去そのものです。逐次比較形や並列比較形は一瞬の値を捉えるので、雑音がそのまま乗ります。

深掘り③：A-D変換器の方式を比べる

方式	速度	精度	雑音耐性	用途
二重積分形	遅い（数回/秒）	非常に高い	非常に強い	ディジタルマルチメータ
逐次比較形	中	高い	普通	汎用・計測機器
並列比較形	非常に速い	中	弱い	高速オシロ・映像
ΔΣ形	遅い	非常に高い	強い	オーディオ

速度と精度はトレードオフです。じっくり時間をかけて平均を取れば精度が上がり、一瞬で捉えようとすれば雑音に弱くなります。

用途に応じて使い分けるのが設計です。電圧を正確に測りたいDMMは二重積分形、波形を見たいオシロは並列比較形——求めるものが違います。

💡 覚え方
二重積分形＝「行きと帰りの時間の比」で測る。同じ回路を2回使うので、回路の定数が全部約分で消える——だから基準電圧の精度だけで決まり、非常に高精度になります。

⏱️ 本番での進め方
❶ (ア)は「一定電圧×時間」——積分器の出力は直線的に増える。
❷ (イ)は途中経過なので変数 $t$——$T_2$ はまだ決まっていない。
❸ (ウ)は $V_o=0$ の条件から $k$ を約分して $V_x=(T_2/T_1)V_r$。
❹ (b)は $T_2/T_1=N_2/N_1$——パルス数の比がそのまま時間の比。
★$V_x$ が大きいほど $T_2$ が長い——比の向きは物理で確認できる。