今回は平成23年度 理論科目 A問題12を解説します。x軸負方向の一様な電界中に置いた電子の運動方程式・速度・走行距離・運動エネルギーが、時間tに対してどう変化するかを問う問題です。
電界が負方向、電子の電荷が-eなので力はeEとなり運動方程式はm₀a=eE。等加速度運動なので速度は時間の1次関数、距離は2次関数、運動エネルギーは時間の2乗で増加します。
出題のポイント
平成23年度 理論科目 A問題12：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 平成23年度 A問題12
次の文章は、真空中における電子の運動に関する記述である。
図のように、x軸上の負の向きに大きさが一定の電界E[V/m]が存在しているとき、x軸上に電荷が-e[C]（eは電荷の絶対値）、質量m₀[kg]の1個の電子を置いた場合を考える。x軸の正方向の電子の加速度をa[m/s²]とし、また、この電子に加わる力の正方向をx軸の正方向にとったとき、電子の運動方程式はm₀a=(ア)…①となる。①式から電子は等加速度運動をすることがわかる。したがって、電子の初速度を零としたとき、x軸の正方向に向かう電子の速度v[m/s]は時間t[s]の(イ)関数となる。また、電子の走行距離xdis[m]は時間t[s]の(ウ)関数で表される。さらに、電子の運動エネルギーは時間t[s]の(エ)で増加することがわかる。
ただし、電子の速度v[m/s]はその質量の変化が無視できる範囲とする。
上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
(ア) (イ) (ウ) (エ) (1) eE 一次 二次 1乗 (2) ½eE 二次 一次 1乗 (3) eE² 一次 二次 2乗 (4) ½eE 二次 一次 2乗 (5) eE 一次 二次 2乗
ポイント解説：m₀a=eE（等加速度）、v∝t（1次）、x∝t²（2次）、運動E∝t²
(ア) 電界Eはx軸の負の向き、電子の電荷は-e。電子に働く力F=(-e)×(-E)=eE（x軸正方向）。よって運動方程式はm₀a=eEで、(ア)＝eE。これより加速度a=eE/m₀は一定＝等加速度運動。
(イ) 初速0の等加速度運動なので速度v=at＝(eE/m₀)t。時間tの一次関数（(イ)）。(ウ) 走行距離x=½at²＝(eE/2m₀)t²。時間tの二次関数（(ウ)）。(エ) 運動エネルギーK=½m₀v²=½m₀(at)²=(e²E²/2m₀)t²。時間tの2乗で増加（(エ)）。よって(ア)eE・(イ)一次・(ウ)二次・(エ)2乗の(5)。
問題の解説
STEP1 (ア) 運動方程式
電界が負方向・電荷-eなので力F=(-e)(-E)=eE。m₀a=eE。加速度a=eE/m₀は一定。
STEP2 (イ)(ウ) 速度と距離
v=at→時間tの一次関数。x=½at²→時間tの二次関数。
STEP3 (エ) 運動エネルギー
K=½m₀v²=½m₀a²t²→時間tの2乗で増加。よって(5)。
答え：(5)
💡 覚え方
電界中の電子：m₀a=eE（等加速度）。v=at（1次）、x=½at²（2次）、K=½m₀v²∝t²（2乗）。力はeE（½eEやeE²ではない）。
⚠️ よくある間違い
(ア)は係数なしのeE（½eE・eE²は誤り）。速度は1次・距離は2次を取り違えない。運動エネルギーはtの2乗で増加。
まとめ
| (ア) | m₀a=eE |
| (イ) | 速度∝t（一次） |
| (ウ) | 距離∝t²（二次） |
| (エ) | 運動E∝t²（2乗） |
| 答え | (5) |
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