電子の運動8【電験3種理論】交差する電界と磁界中で等速直線運動する電子の速さ（v=E/μ₀H）を求める！令和3年度 A問題12 完全解説

2026年7月14日2026年8月4日

電験3種理論科目電子理論（電子の運動）令和3年度 A問題12 曲がらず真っ直ぐ進む電子！その速さはいくつ？

今回は令和3年度理論科目 A問題12を解説します。直交する電界E（x方向）と磁界H（y方向）の中を、z方向の初速度vで放出された電子が等速直線運動をする条件から、速さvを求める問題です。

等速直線運動をするには、電子に働く電気力と磁気力がつり合っていなければなりません。電気力eEと磁気力eμ₀Hvを等しいと置いてvを求めます。磁界がH[A/m]で与えられているので、磁束密度がμ₀Hになる点に注意します。

令和3年度理論科目 A問題12：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目電子の運動令和3年度 A問題12 問題文 — 令和3年度理論科目 A問題12 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和3年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題12

電験3種理論科目【電子理論（電子の運動）】令和3年度 A問題12

　図のように、x方向の平等電界E[V/m]、y方向の平等磁界H[A/m]が存在する真空の空間において、電荷-e[C]、質量m[kg]をもつ電子がz方向の初速度v[m/s]で放出された。この電子が等速直線運動をするとき、vを表す式として正しいものを求める。

　ただし、真空の誘電率をε₀[F/m]、真空の透磁率をμ₀[H/m]とし、重力の影響を無視する。また、電子の質量は変化しないものとし、図中の⊙は紙面に垂直かつ手前の向きを表す。

電子が等速直線運動をするとき、vを表す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、真空の誘電率をε₀[F/m]、真空の透磁率をμ₀[H/m]とし、重力の影響を無視する。

（1）ε₀E/(μ₀H)
（2）E/H
（3）E/(μ₀H)
（4）H/(ε₀E)
（5）μ₀H/E

出題のポイント：等速直線運動＝力が釣り合っている

「等速直線運動をする」という条件は、「合力がゼロ」という意味です。電界からの力と磁界からの力が、大きさが等しく向きが逆になっているはずです。

電界は $x$ 方向、磁界は $y$ 方向、電子は $z$ 方向に飛ぶ——3つが互いに直交しています。この配置は「速度選別器」と呼ばれる装置そのものです。

2つの力の釣り合い

$$eE=evB\ \Rightarrow\ v=\frac{E}{B}=\frac{E}{\mu_0H}$$

※磁界の強さ $H$ から磁束密度 $B=\mu_0H$ に直すのを忘れないでください。

両辺の $e$ が約分されるのがポイントです。電気量に関係なく、速さだけで決まる——だから「速度選別器」として使えます。

公式図と同じx上向き、z右向き、y紙面手前の座標で、負電荷の電子に働く電気力が下向き、磁気力が上向きとなり合力0になることを示す解説 — 負電荷では電気力と磁気力の向きを丁寧に反転して考えると、二つの力が逆向きになることを確認できます。

解説：2つの力の向きを確認してから釣り合わせる

$$B=\mu_0H\ \mathrm{[T]}$$

❶ 磁界を磁束密度に
$H$ のままでは使えない

$$F_E=(-e)E\ \Rightarrow\ -x\ \text{方向、大きさ}\ eE$$

❷ 電界からの力
電子は負電荷

$$F_B=(-e)\,\vec v\times\vec B\ \Rightarrow\ +x\ \text{方向、大きさ}\ ev\mu_0H$$

❸ 磁界からの力
逆向き ✓

$$eE=ev\mu_0H\ \Rightarrow\ v=\frac{E}{\mu_0H}$$

❹ 釣り合い
$e$ が約分

❸のベクトル積は $\vec z\times\vec y=-\vec x$ です。電子の電荷が負なので、さらに符号が反転して $+x$ 方向——電界からの力（$-x$ 方向）とちょうど逆向きになります。

向きが逆であることを確かめてから、大きさを等しいと置く——この手順を省くと、そもそも釣り合わない配置で計算してしまう危険があります。

磁界Hを磁束密度Bイコールμ0Hへ変換し、電気力eEと磁気力evμ0Hを等しいと置いて速さvイコールE割るμ0Hを導く解説 — 問題でHが与えられているためB=μ₀Hと直し、等速直線運動の条件eE=evμ₀Hを使います。

導いた速さE割るμ0Hを公式の五つの選択肢と照合し、μ0とε0の違いを説明して選択肢3を正解とする表 — 分子・分母とμ₀の位置まで一致するのは選択肢（3）だけで、ε₀はこのつり合い式には現れません。

答え$v=\dfrac{E}{\mu_0H}\ \mathrm{[m/s]}$　→　選択肢(3)

誤答の正体：$H$ と $B$ の区別がすべて

選択肢	式	どんな誤りか
(1)	$\dfrac{\varepsilon_0E}{\mu_0H}$	不要な $\varepsilon_0$ が付いている
(2)	$\dfrac{E}{H}$	$H$ を $B$ と混同（$\mu_0$ 抜け）
(3)	$\dfrac{E}{\mu_0H}$	正解
(4)	$\dfrac{H}{\varepsilon_0E}$	分子分母が逆
(5)	$\dfrac{\mu_0H}{E}$	逆数（時間/距離の次元）

(2)が最も多い誤答でしょう。ローレンツ力は $F=evB$ であって $F=evH$ ではありません——$B=\mu_0H$ の変換が必要です。

(5)は逆数です。$\dfrac{\mu_0H}{E}=\dfrac{B}{E}=\dfrac{1}{v}$——単位が $\mathrm{s/m}$ になり、速さになりません。次元チェックで消せます。

⚠️ よくある間違い
$\varepsilon_0$ が入っている選択肢は、静電気の式と混同したものです。ローレンツ力に誘電率は出てきません——出てくるのは透磁率 $\mu_0$ だけです。

☝️ ひっかけの作り方：問題文が「磁界 $H\ \mathrm{[A/m]}$」と単位まで書いているのがヒントです。$\mathrm{A/m}$ は磁界の強さ、$\mathrm{T}$ は磁束密度——単位を見れば $H$ か $B$ か判別できます。

深掘り①：これは「速度選別器」の原理

電界と磁界を直交させて、特定の速さの粒子だけを通す装置を速度選別器（ベロシティセレクタ）と呼びます。本問はまさにその原理です。

粒子の速さ	電気力	磁気力	結果
$v<E/B$	一定	小さい	電気力が勝ち $-x$ へ曲がる
$v=E/B$	一定	釣り合う	まっすぐ通過 ✓
$v>E/B$	一定	大きい	磁気力が勝ち $+x$ へ曲がる

磁気力だけが速さに比例するのが、この装置の肝です。電気力は速さによらず一定なので、釣り合うのはただ1つの速さのときだけ——その速さの粒子だけがまっすぐ進みます。

しかも $e$ が約分されるので、電気量にも質量にも関係しません。電子でも陽子でもイオンでも、速さが $E/B$ なら通過——純粋に「速さ」だけで選別できます。

質量分析器の前段によく使われます。速度を揃えてから磁界で曲げれば、曲がり方の違いが質量の違いを表す——物質の分析に不可欠な装置です。

深掘り②：$H$ と $B$ の使い分け

磁界には2つの量があり、混同しやすいところです。表で確実に区別しましょう。

	磁界の強さ $H$	磁束密度 $B$
単位	$\mathrm{A/m}$	$\mathrm{T}$（テスラ）
決めるもの	電流が作る（物質によらない）	物質の中で実際に生じる
関係	—	$B=\mu H=\mu_0\mu_sH$
力の式に使う	使わない	$F=evB$、$F=BIl$

力の計算に使うのは必ず $B$ です。$H$ が与えられたら、まず $B=\mu_0H$ に直す——真空中なら $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}$ を使います。

$\mu_0=4\pi\times10^{-7}\fallingdotseq1.26\times10^{-6}$ なので、$H=10^{3}\ \mathrm{A/m}$ なら $B\fallingdotseq1.26\ \mathrm{mT}$——数値が大きく変わります。混同すると答えが100万倍ずれることもあります。

深掘り③：3つのベクトルの向きを確実に決める

電界・磁界・速度が互いに直交する配置では、力の向きを間違えやすいものです。手順を決めて確実に処理しましょう。

手順	やること	本問では
❶	座標軸を決めて各ベクトルを書く	$\vec E=E\hat x$、$\vec B=\mu_0H\hat y$、$\vec v=v\hat z$
❷	電気力 $q\vec E$ の向き	$q=-e$ なので $-x$ 方向
❸	$\vec v\times\vec B$ を計算	$\hat z\times\hat y=-\hat x$
❹	磁気力 $q(\vec v\times\vec B)$	$(-e)(-\hat x)=+x$ 方向
❺	逆向きなら大きさを等置	$eE=ev\mu_0H$

右手系の外積は $\hat x\times\hat y=\hat z$、$\hat y\times\hat z=\hat x$、$\hat z\times\hat x=\hat y$ です。順序を入れ替えると符号が反転——$\hat z\times\hat y=-\hat x$ になります。

電子の負電荷でもう一度反転するので、結果として $+x$ 方向です。2回の符号反転を落ち着いて追うことが大切です。

⏱️ 本番での進め方
❶ 等速直線運動＝合力ゼロ——2つの力を等しいと置く。
❷ $H$ が与えられたら必ず $B=\mu_0H$ に直す——力の式は $B$。
❸ $e$ が約分される——電気量にも質量にも依存しない。
❹ 次元チェック——$E/B$ は $\mathrm{(V/m)/T}=\mathrm{m/s}$ ✓。

💡 覚え方
$v=E/B$ は「速度選別器」の公式——電気力が速さによらず、磁気力が速さに比例するから、釣り合う速さがただ1つに決まります。この物理的な意味とセットで覚えてください。