電子の運動7【電験3種 理論】運動エネルギーと速さの関係（v∝√K）から速さを求める！令和4年度上期 A問題12 完全解説

今回は令和4年度上期 理論科目 A問題12を解説します。電子の運動エネルギーが400eVのときの速さから、100eVのときの速さを求める問題です。

運動エネルギー½mv²は速さvの2乗に比例します。つまりv∝√（運動エネルギー）。エネルギーが1/4になれば速さは√(1/4)=1/2になる、という比例関係だけで解けます。

出題のポイント

令和4年度上期 理論科目 A問題12：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 令和4年度上期 A問題12

　真空中において、電子の運動エネルギーが400eVのときの速さが1.19×10⁷m/sであった。電子の運動エネルギーが100eVのときの速さ[m/s]の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、電子の相対性理論効果は無視するものとする。

（1）2.98×10⁶
（2）5.95×10⁶
（3）2.38×10⁷
（4）2.98×10⁹
（5）5.95×10⁹

ポイント解説：運動エネルギー∝速さの2乗、v∝√K

運動エネルギーはK=½mv²で、速さvの2乗に比例する。したがって速さは運動エネルギーの平方根に比例し、v∝√K。2つの状態を比べると、v₂/v₁=√(K₂/K₁)。

K₁=400eVでv₁=1.19×10⁷m/s。K₂=100eVは1/4なので、v₂=v₁×√(100/400)=1.19×10⁷×√(1/4)=1.19×10⁷×0.5=5.95×10⁶m/s。よって(2)。（質量mや電気素量eの値を使わなくても、比の関係だけで求まる。）

問題の解説

STEP1　関係式

K=½mv²よりv∝√K。2状態でv₂/v₁=√(K₂/K₁)。

STEP2　比を代入

K₂/K₁=100/400=1/4。v₂=v₁×√(1/4)=1.19×10⁷×0.5。

STEP3　計算

v₂=5.95×10⁶m/s。よって(2)。

答え：(2)

まとめ

関係	K∝v²→v∝√K
エネルギー比	100/400=1/4
速さ比	√(1/4)=1/2
答え	5.95×10⁶m/s（(2)）

▼あわせて解きたい関連問題
・平行平板と電子の速さ（電子の運動2）：【理論】令和7年度上期 A問題12