今回は令和5年度下期 理論科目 A問題12を解説します。真空中で一様な電界E中に置いた電子の運動方程式・速度・走行距離・運動エネルギーの時間依存性を問う穴埋め問題です。
電子に働く力はeEで一定なので等加速度運動になります。速度は時間の一次関数、走行距離は二次関数、運動エネルギーは時間の2乗で増加する、という等加速度運動の基本を押さえれば解けます。
令和5年度下期 理論科目 A問題12：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和5年度下期 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題12
電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 令和5年度下期 A問題12
次の文章は、真空中における電子の運動に関する記述である。
図のように、x軸上の負の向きに大きさが一定の電界E[V/m]が存在しているとき、x軸上に電荷が-e[C]（eは電荷の絶対値）、質量m0[kg]の1個の電子を置いた場合を考える。x軸の正方向の電子の加速度をa[m/s²]とし、また、この電子に加わる力の正方向をx軸の正方向にとったとき、電子の運動方程式はm0a=(ア)……①となる。
①式から電子は等加速度運動をすることがわかる。したがって、電子の初速度を零としたとき、x軸の正方向に向かう電子の速度v[m/s]は時間t[s]の(イ)関数となる。また、電子の走行距離xdis[m]は時間t[s]の(ウ)関数で表される。さらに、電子の運動エネルギーは時間t[s]の(エ)で増加することがわかる。
上記の記述中の空白箇所(ア)〜(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
(ア) (イ) (ウ) (エ) (1) eE 一次 二次 1乗 (2) ½eE 二次 一次 1乗 (3) eE2 一次 二次 2乗 (4) ½eE 二次 一次 2乗 (5) eE 一次 二次 2乗
出題のポイント：力の向きを決めてから、時間の関数を追う
電界は \(x\) 軸の【負】の向き、電子の電荷は \(-e\)——負×負で力は \(x\) 軸の【正】の向きになります。だから電子は \(x\) の正方向へ加速されます。
力の大きさは \(eE\) です。\(\dfrac{1}{2}\) も二乗も付きません——\(F=qE\) の素直な形です。
あとは等加速度運動の公式を並べるだけです。速度は時間の1次、距離は2次、エネルギーは速度の2乗だから時間の2乗——順に追えば迷いません。
解説：4つの空欄を順に埋める
力は \(+x\) 方向に \(eE\)
比例
放物線状に伸びる
❹は「速度が時間の1次だから、その二乗は時間の2乗」という筋道です。\(v\propto t\) なら \(v^{2}\propto t^{2}\)——エネルギーは速度の二乗に比例するので、時間の2乗で増えます。
距離も時間の2乗なので、エネルギーは距離に比例することになります。これは「仕事＝力×距離」から見ても当然——力が一定なら、進んだ距離に比例して仕事が増えるからです。
誤答の正体：(ア)の形と(エ)の指数
| 選択肢 | (ア) | (イ) | (ウ) | (エ) | どこが誤りか |
| (1) | \(eE\) | 一次 | 二次 | 1乗 | (エ)が誤り |
| (2) | \(\frac12eE\) | 二次 | 一次 | 1乗 | ほぼ全部誤り |
| (3) | \(eE^{2}\) | 一次 | 二次 | 2乗 | (ア)が誤り（次元） |
| (4) | \(\frac12eE\) | 二次 | 一次 | 2乗 | (ア)(イ)(ウ)が誤り |
| (5) | \(eE\) | 一次 | 二次 | 2乗 | 正解 |
(1)が最も惜しい誤答です。(ア)(イ)(ウ)まで正しいのに、(エ)だけ「1乗」——「エネルギーは速度の二乗」という一手を忘れたケースです。
(3)の \(eE^{2}\) は次元が合いません。\(\mathrm{C}\times(\mathrm{V/m})^{2}\)——ニュートンになりません。次元チェックだけで消せます。
(2)(4)の \(\dfrac{1}{2}eE\) も誤りです。\(\dfrac{1}{2}\) が出てくるのは距離の式 \(x=\dfrac12at^{2}\) とエネルギーの式 \(\dfrac12mv^{2}\)——力の式には出てきません。
⚠️ よくある間違い
(イ)と(ウ)を逆にする誤りも多いです。速度が一次、距離が二次——「距離は速度を積分したもの」だから次数が1つ上がると考えれば間違えません。
☝️ ひっかけの作り方：電界が「\(x\) 軸の負の向き」という設定に注意してください。電子の電荷も負なので、力は正の向きになります。負が2つで正——符号を2回追うのを忘れずに。
深掘り①：4つの量の時間変化をグラフで捉える
加速度・速度・距離・エネルギーが、それぞれ時間にどう依存するか——表とグラフの形で整理しておきましょう。
| 量 | 式 | 時間依存 | グラフの形 |
| 加速度 \(a\) | \(eE/m_0\) | 一定 | 水平な直線 |
| 速度 \(v\) | \(at\) | 1次 | 原点を通る直線 |
| 距離 \(x\) | \(\frac12at^{2}\) | 2次 | 放物線 |
| エネルギー \(W\) | \(\frac12m_0a^{2}t^{2}\) | 2次 | 放物線 |
距離とエネルギーはどちらも時間の2乗——だから両者は互いに比例します。\(W=eEx\)（力×距離）という関係が、この事実を表しています。
時間が2倍になると、速度は2倍、距離は4倍、エネルギーは4倍です。具体的な数値を1つ計算しておくと、感覚がつかめます。
距離は4倍 ✓
わずか2ナノ秒で3.5 mmも進む——電子の運動がいかに速いかが分かります。これが電子デバイスの高速性の源です。
深掘り②：なぜエネルギーは時間の2乗なのか
「エネルギーが時間の2乗で増える」——これを2通りの筋道で確かめておきましょう。
| 筋道 | 考え方 | 結論 |
| 速度から | \(v\propto t\)、\(W=\frac12mv^{2}\propto v^{2}\) | \(W\propto t^{2}\) |
| 距離から | \(W=Fx\)、\(x\propto t^{2}\) | \(W\propto t^{2}\) |
どちらの筋道でも同じ結論にたどり着きます。「速度の二乗」から見ても、「力×距離」から見ても \(t^{2}\)——物理法則の整合性が確認できます。
ちなみに仕事率（パワー）は時間の1次です。\(P=Fv\propto t\)——速くなるほど、単位時間あたりに受け取るエネルギーが増えるからです。
エネルギーを時間で微分すると仕事率ですから、\(t^{2}\) を微分して \(t\)——ここでも辻褄が合います。
深掘り③：自由落下との完全な対応
平等電界中の電子の運動は、重力中の落体運動とまったく同じ形です。置き換えるだけで公式が使えます。
| 自由落下 | 平等電界中の電子 | |
| 力 | \(F=mg\) | \(F=eE\) |
| 加速度 | \(g=9.8\ \mathrm{m/s^{2}}\) | \(a=eE/m_0\) |
| 速度 | \(v=gt\) | \(v=at\) |
| 距離 | \(h=\frac12gt^{2}\) | \(x=\frac12at^{2}\) |
| エネルギー | \(mgh\) | \(eEx=eV\) |
\(g\) を \(eE/m_0\) に置き換えるだけ——高校で習った落体の公式がそのまま使えます。新しく覚えることはほとんどありません。
違いは加速度の大きさです。重力は \(9.8\ \mathrm{m/s^{2}}\)、電子は \(10^{15}\ \mathrm{m/s^{2}}\) のオーダー——\(10^{14}\) 倍も違います。だから「重力の影響は無視できる」のです。
⏱️ 本番での進め方
❶ 電界が負、電荷が負 → 力は正——符号を2回追う。
❷ 力は \(eE\)——\(\frac12\) も二乗も付かない。
❸ 速度は1次、距離は2次、エネルギーは2乗——順に次数が上がる。
❹ 自由落下と同じ形——\(g\) を \(eE/m_0\) に置き換えるだけ。
💡 覚え方
「距離は速度の積分だから次数が1つ上」——加速度（0次）→速度（1次）→距離（2次）という階段です。エネルギーは速度の二乗だから2次——距離と同じ次数になります。
★重要：平成23年度A問題12とまったく同じ問題
平成23年度A問題12は、本問と完全に同一の問題です。問題文の一字一句、4つの空欄、5つの選択肢の並び、正答番号(5)まですべて同じ——12年の時を経ての再出題でした。
| 平成23年度 A問題12 | 本問（令和5年度下期 A問題12） | |
| 問題文 | 電界は \(x\) 軸の負の向き、電荷 \(-e\)、質量 \(m_0\) | 完全に同一 |
| 空欄 | (ア)(イ)(ウ)(エ)の4つ | 完全に同一 |
| 選択肢 | eE／一次／二次／2乗 など5組 | 並びも同じ |
| 正答番号 | (5) | (5) |
選択肢の並びさえ変えずに再出題されました。当サイトで確認している「完全同一ペア」はこれで6組目です。
⚠️ よくある間違い
「電子の運動」は出題パターンが少ない分野です。平行平板・加速・エネルギー・放出現象・磁界中の円運動——この5つで大半をカバーできるため、再出題が起きやすいのです。
出題履歴：運動方程式から時間依存性を追う
「時間の何次関数か」を問う形式は、式を覚えているだけでなく、その意味を理解しているかを確かめるものです。等加速度運動の3つの式を書き出せば、次数は自然に読み取れます。
この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。
あわせて解いておきたい記事：【理論】平成23年度A問題12（完全に同一の問題）
まとめ
| (ア) | m₀a=eE（等加速度） |
| (イ) | 速度は一次関数 |
| (ウ) | 距離は二次関数 |
| (エ) | エネルギーは2乗で増加 |
| 答え | (5) |
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・マグネトロン内の電子の軌跡（電子の運動3）：【理論】令和6年度下期 A問題12
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