電子の運動4【電験3種 理論】平行電極板で加速された電子の運動エネルギーと速さ（v=√(2eV/m)）を求める！令和6年度上期 A問題12 完全解説

今回は令和6年度上期 理論科目 A問題12を解説します。平行電極板間の直流電圧V[V]で加速された電子が陽極板に到達したときの運動エネルギーと速さvを求める穴埋め問題です。

電子が電圧V全体で加速されると、電界がした仕事eVがそのまま運動エネルギー½mv²になります。エネルギー保存の式½mv²=eVを速さvについて解くだけです。

出題のポイント

令和6年度上期 理論科目 A問題12：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 令和6年度上期 A問題12

　真空中に置かれた平行電極板間に、直流電圧V[V]を加えて平等電界E[V/m]を作り、この陰極板に電子を置いた場合、初速度零で出発した電子が陽極板に到達したときの速さは、v[m/s]となった。このときの電子の運動エネルギーは、電子が陽極板に到達するまでに得るエネルギーに等しいと考えられ、次の式が成立する。

　½mv²=(ア)

　ただし、電子の電気素量をe[C]、電子の質量をm[kg]とする。したがって、この式から電子の速さv[m/s]は(イ)で表される。

上記の記述中の空白箇所(ア)及び(イ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

	(ア)	(イ)
(1)	eV	√(4eV/m)
(2)	eV	√(2eV/m)
(3)	2eV	√(4eV/m)
(4)	eE	√(2eE/m)
(5)	eE	√(4eE/m)

ポイント解説：仕事＝運動エネルギー ½mv²=eV → v=√(2eV/m)

(ア) 電荷e[C]の電子が電位差V[V]の間で加速されるとき、電界がする仕事はW=eV。この仕事がそのまま運動エネルギーになるので、½mv²=eV。（E=V/dより仕事eEd=eVとなり、間隔dによらずeVで表せる。）

(イ) この式をvについて解く。½mv²=eV → v²=2eV/m → v=√(2eV/m)。よって(ア)eV・(イ)√(2eV/m)の(2)。式中はeとVの積であり、E（電界）ではない点に注意。

問題の解説

STEP1　(ア) 運動エネルギー

電子が電圧Vで加速される仕事はeV。これが運動エネルギーに等しく½mv²=eV。(ア)＝eV。

STEP2　(イ) 速さvを求める

½mv²=eVをvについて解く。v²=2eV/m、v=√(2eV/m)。(イ)＝√(2eV/m)。

STEP3　結論

(ア)eV・(イ)√(2eV/m)の(2)。

答え：(2)

まとめ

(ア)	½mv²=eV
導出	v²=2eV/m
(イ)	v=√(2eV/m)
答え	(2)

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