過渡現象8【電験3種理論】RL回路のスイッチ投入後のコイル電流の波形を求める！令和3年度 A問題10 完全解説

2026年7月13日2026年8月1日

電験3種理論科目電気回路（過渡現象）令和3年度 A問題10 RL回路の立ち上がり！時定数で決まる波形はどれ？

今回は令和3年度理論科目 A問題10を解説します。RL回路でスイッチを閉じたときのコイル電流i_Lの波形について、R＝1Ωのとき図2の波形（点線）が得られたとき、R＝2Ωの波形（実線）を選ぶ問題です。

RL回路の過渡現象は、時定数τ＝L/Rで最終値V/Rに近づく指数関数です。Rを2倍にすると最終値は半分、時定数も半分（速く立ち上がる）になります。

令和3年度理論科目 A問題10：問題文と選択肢

抵抗を2倍にすると、波形は「低く、速く」なります。最終値も時定数も半分——しかし出発の傾きだけは変わりません。この3点で波形が一意に決まります。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目過渡現象令和3年度 A問題10 問題文 — 令和3年度理論科目 A問題10 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和3年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題10

電験3種理論科目【電気回路（過渡現象）】令和3年度 A問題10

　開放電圧がV〔V〕で出力抵抗が十分に低い直流電圧源と、インダクタンスがL〔H〕のコイルが与えられ、抵抗R〔Ω〕が図1のようにスイッチSを介して接続されている。時刻t＝0でスイッチSを閉じ、コイルの電流i_L〔A〕の時間に対する変化を計測して、波形として表す。R＝1Ωとしたところ、波形が図2であったとする。R＝2Ωであればどのような波形となるか、波形の変化を最も適切に表すものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、選択肢の図中の点線は図2と同じ波形を表し、実線はR＝2Ωのときの波形を表している。

上の図(1)〜(5)から、R＝2Ωのときの実線の波形として最も適切なものを一つ選べ。

出題のポイント：Rを変えると波形の「高さ」と「速さ」が同時に変わる

この問題は計算ではなく波形の読み取りが問われます。抵抗Rを1 Ωから2 Ωへ増やしたとき、波形の何がどう変わるか——変わる要素は2つ同時です。

使う公式：RL直列回路の投入応答

$$i_L(t)=\frac{V}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right),\qquad \tau=\frac{L}{R}$$

※最終値 $V/R$ にも時定数 $L/R$ にも、どちらにもRが入っているのがポイントです。

要素	式	R＝1 Ω	R＝2 Ω	変化
最終値（高さ）	$V/R$	3.0 A	1.5 A	半分
時定数（速さ）	$L/R$	1.0 s	0.5 s	半分＝速く立ち上がる
初期の傾き	$V/L$	3.0 A/s	3.0 A/s	変わらない

「低く、速く」——これが答えの形です。到達点は下がるのに、そこへ行く速さは上がる。一見矛盾しそうですが、時定数が半分になったぶん、低い目標へ素早く落ち着くと考えれば自然です。

直流電圧源V、スイッチS、抵抗R、コイルLのRL直列回路で、Rを1Ωから2Ωへ変えたときの定常値、時定数、初期傾きを比較する解説 — Rを2倍にすると定常値V/Rと時定数L/Rはともに半分ですが、投入直後の傾きV/Lは変わりません。

見落とされがちな第3の事実：出発の傾きは変わらない

最終値と時定数が両方とも半分になる——ここまでは多くの解説に書かれています。しかしもう一つ、波形を選ぶうえで決定的な性質があります。

$$i_L(t)=\frac{V}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$$

❶ 電流の式

$$\frac{di_L}{dt}=\frac{V}{R}\cdot\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}=\frac{V}{R}\cdot\frac{R}{L}e^{-t/\tau}$$

❷ 微分する
$1/\tau=R/L$ を代入

$$\left.\frac{di_L}{dt}\right|_{t=0}=\frac{V}{L}$$

❸ t＝0を代入
Rが約分で消えた

投入直後の立ち上がりの傾きは $V/L$ で、Rによらないのです。理由も明快で、t＝0では電流が0なので抵抗の電圧降下も0——電源電圧の全部がコイルにかかるため、$V=L\,di/dt$ から傾きが決まります。抵抗の出番がありません。

したがって正しい波形は、点線とまったく同じ角度で出発し、途中で分かれて低い値へ早く水平になる形です。出発点の角度が違う図は、それだけで誤りと判定できます。

問題の解説：与えられた波形からVとLを読み取る

STEP1　R＝1 Ωの波形（点線）から回路定数を求める

グラフは条件を教えてくれる情報源です。2つの値を読み取ります。

$$\frac{V}{R}=3\;[\mathrm{A}],\;R=1\;\Rightarrow\;V=3\;[\mathrm{V}]$$

❶ 最終値から電源電圧
グラフが水平になる高さ

$$\tau=\frac{L}{R}=1\;[\mathrm{s}],\;R=1\;\Rightarrow\;L=1\;[\mathrm{H}]$$

❷ 時定数からインダクタンス
最終値の63.2 %＝1.90 Aに達する時刻

時定数の読み取り方：グラフから最終値の63.2 %に達する時刻を探すのが正攻法です。もう一つ、原点での接線を引いて最終値と交わる時刻も τ になります（接線の傾きが $V/L$ だから）。

STEP2　R＝2 Ωの最終値と時定数を計算する

$$\frac{V}{R}=\frac{3}{2}=1.5\;[\mathrm{A}]$$

❸ 新しい最終値
半分に下がる

$$\tau=\frac{L}{R}=\frac{1}{2}=0.5\;[\mathrm{s}]$$

❹ 新しい時定数
半分＝速くなる

$$i_L(t)=1.5\left(1-e^{-2t}\right)\;[\mathrm{A}]$$

❺ 波形の式
指数の肩が $-t/0.5=-2t$

STEP3　2つの波形を数値で比べる

時刻 t [s]	R＝1 Ω（点線）	R＝2 Ω（実線）	様子
0	0	0	同じ点から出発
0.10	0.285 A	0.272 A	ほぼ重なっている（同じ傾き）
0.25	0.664 A	0.590 A	実線が離れ始める
0.50	1.180 A	0.948 A	実線が下を通る
1.00	1.896 A	1.297 A	実線は1.5 Aに近づきつつある
2.00	2.594 A	1.473 A	実線はほぼ水平（1.5 A）／点線はまだ上昇中

t＝0.1 sではほぼ重なっているのが数値でも確認できます。出発の傾きが同じだからです。分かれていくのは時間が経ってから——グラフの左端では見分けがつかないことを知っておくと、図の読み取りで迷いません。

キルヒホッフの第2法則からRL直列回路の微分方程式と指数関数の時間応答を導き、時定数の63パーセント点を説明 — V＝RiL＋LdiL/dtから、iL(t)＝(V/R)(1－e^(-t/τ))、τ＝L/Rが得られます。

答え最終値1.5 A（点線の半分）、時定数0.5 s（点線より速い）、出発の傾きは点線と同じ　→　選択肢(4)

R＝1Ωの基準波形の定常値3Aと63パーセント点1.9Aから、電源電圧3V、時定数1s、インダクタンス1Hを読み取る解説 — 基準の点線波形からV＝3V、L＝1Hを求め、R＝2Ωの応答計算へつなげます。

R＝2ΩのRL直列回路について、定常値1.5A、時定数0.5s、時間応答式と代表時刻の電流値を計算する解説 — R＝2ΩではiL(t)＝1.5(1－e^(-2t))Aとなり、同じ初期傾き3A/sで出発して1.5Aへ早く近づきます。

誤答の波形はどんな勘違いから生まれるか

選択肢は5つの波形の図です。どの性質を間違えるとどんな図になるかを整理すると、消去が速くなります。

描かれている波形	何を間違えたか	見破り方
最終値1.5 A・点線と同じ速さ	最終値だけ変えて時定数を変え忘れた	$\tau=L/R$ にもRが入っている
最終値3 Aのまま・速さだけ変化	時定数だけ変えて最終値を変え忘れた	$V/R$ にもRが入っている
最終値1.5 A・点線より遅い	$\tau=LR$ と誤解してRを増やすと遅くなると考えた	τはRで割る
最終値6 A（2倍）	「Rを2倍にすれば電流も2倍」と誤解	オームの法則は反比例
出発の傾きが違う	初期傾きがRによると誤解	$di/dt\vert_0=V/L$ はRによらない

最も多いのは「片方だけ変えた」誤りです。最終値と時定数の両方にRが入っていることを見落とすと、必ずどちらかを変え忘れます。

3つ目の「遅くなる」波形も要注意です。「抵抗が大きい＝電流が流れにくい＝ゆっくり」という直感は、RC回路（$\tau=RC$）では正しいのですが、RL回路では逆（$\tau=L/R$）。RCとRLで時定数の形が違うことが、この誤りの根っこにあります。

回路	時定数	Rを大きくすると
RC回路	$\tau=RC$	遅くなる（τが増える）
RL回路	$\tau=L/R$	速くなる（τが減る）

なぜRL回路は抵抗が大きいほど速いのか

式の上では $\tau=L/R$ だから——で終わりですが、物理的なイメージを持っておくと忘れません。

コイルは電流の変化に逆らう素子です。抵抗が大きいと、そもそも流せる最終電流 $V/R$ が小さい。目指す高さが低いのだから、そこへ着くのは早い——そう考えると自然です。

一方で出発の勢い（傾き $V/L$）は同じ。同じ速さで走り出して、ゴールが手前にあるほうが先に着く——これがRL回路で「抵抗が大きいほど速い」の中身です。

実際、最終値に達するまでの「実質的な時間」は τ で測ります。R＝1 Ωなら5τ＝5秒、R＝2 Ωなら5τ＝2.5秒。低い目標に半分の時間で到達する、という結論になります。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① RL回路でRを変える問題は、最終値 $V/R$ と時定数 $L/R$ の両方が変わると即断
② Rを2倍 → 最終値も時定数も半分（どちらも「低く・速く」）
③ 初期の傾き $V/L$ はRによらない。出発角度が違う図は即座に消せる
④ グラフから定数を読むときは最終値→V、63.2 %到達時刻→τの順
⑤ RCは $\tau=RC$（Rで遅く）、RLは $\tau=L/R$（Rで速く）——逆向きなので必ず区別

💡 覚え方
「RLでRを増やすと、低く・速く」。最終値も時定数も $1/R$ に比例するので2つセットで半分。そして出発の傾きだけは不変（$V/L$）——この3点セットで波形が一意に決まります。

⚠️ よくある間違い
最頻出は最終値と時定数の片方だけを変える誤りです。両方にRが入っていることを確認してください。次に多いのが「抵抗が大きいと遅くなる」という思い込み。それはRC回路の話で、RL回路では $\tau=L/R$ なので速くなります。