単相交流49【電験3種 理論】LC回路の振動電流の波形・最大値・周期を求める！平成23年度 B問題16 完全解説

今回は平成23年度 理論科目 B問題16を解説します。100Vに充電された静電容量C＝300μFのコンデンサとL＝30mHのコイルの回路で、スイッチを閉じて放電したときの振動電流について、(a)波形と(b)最大値・周期を求めるB問題です（回路の抵抗は無視）。

抵抗のないLC回路はエネルギーがCとLの間を往復し、正弦波状の振動電流が流れます。電流は0から始まり（コイルが急変を妨げる）、最大値I_max＝V√(C/L)、周期T＝2π√(LC)です。

出題のポイント

平成23年度 理論科目 B問題16：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 平成23年度 B問題16

　図のように、電圧100〔V〕に充電された静電容量C＝300〔μF〕のコンデンサ、インダクタンスL＝30〔mH〕のコイル、開いた状態のスイッチSからなる回路がある。時刻t＝0〔s〕でスイッチSを閉じてコンデンサに充電された電荷を放電すると、回路には振動電流i〔A〕（図の矢印の向きを正とする）が流れる。このとき、次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし、回路の抵抗は無視できるものとする。

（a）振動電流iの波形を示す図として、正しいものを上の図(1)〜(5)から一つ選べ。

（b）振動電流の最大値〔A〕及び周期〔ms〕の値の組合せとして、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

	最大値〔A〕	周期〔ms〕
(1)	1.0	18.8
(2)	1.0	188
(3)	10.0	1.88
(4)	10.0	18.8
(5)	10.0	188

ポイント解説：無損失LC振動、I_max＝V√(C/L)、T＝2π√(LC)

抵抗のないLC回路では、コンデンサの静電エネルギーとコイルの磁気エネルギーが往復し、正弦波状の振動電流が流れます。スイッチを閉じた瞬間、コイルが電流の急変を妨げるので電流は0から始まります。

エネルギー保存½CV²＝½LI_max²より最大値I_max＝V√(C/L)。振動の角周波数はω₀＝1/√(LC)、周期T＝2π√(LC)です。

問題の解説

STEP1　(a) 波形を選ぶ

t＝0で電流は0（コイルが急変を妨げる）、その後コンデンサの電荷が電流を正方向に押し出す。よって0から正に立ち上がる正弦波で、波形は(1)。

STEP2　(b) 最大値を求める

エネルギー保存½CV²＝½LI_max²より$$I_{max}=V\sqrt{\frac{C}{L}}=100\sqrt{\frac{300\times10^{-6}}{30\times10^{-3}}}=100\times0.1=10\;[\mathrm{A}]$$

STEP3　(b) 周期を求める

$$T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{30\times10^{-3}\times300\times10^{-6}}=2\pi\times3\times10^{-3}\approx18.8\;[\mathrm{ms}]$$よって(b)は(4)。

答え：(a)-(1)，(b)-(4)

まとめ

(a)波形	0から正に立上がる正弦波…(1)
Imax	V√(C/L)＝100×0.1＝10A
周期T	2π√(LC)≒18.8ms
答え	(a)(1)・(b)(4)

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