単相交流18【電験3種理論】共振時のコイル電圧は抵抗電圧の何倍？（Q値）令和4年度上期 A問題9 完全解説

2026年7月12日2026年8月1日

電験3種理論科目電気回路（単相交流）令和4年度上期 A問題9 共振でコイル電圧が跳ね上がる！何倍になる？

今回は令和4年度上期理論科目 A問題9を解説します。RLC直列回路（5Ω・200mH・20μF）で電流が最大（共振）のとき、コイル両端電圧は抵抗両端電圧の何倍かを求める問題です。

共振時は電流が最大で、コイル電圧V_L＝IωL、抵抗電圧V_R＝IRです。同じ直列電流Iが流れるため、比はV_L/V_R＝ωL/R（＝共振の鋭さQ）となります。共振時のωLは√(L/C)で計算します。

令和4年度上期理論科目 A問題9：問題文と選択肢

まずは、令和4年度上期に実際に出題された問題文と選択肢を確認しましょう。

電験3種理論科目単相交流令和4年度上期 A問題9 問題文 — 令和4年度上期理論科目 A問題9 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和4年度上期第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題9

電験3種理論科目【電気回路（単相交流）】令和4年度上期 A問題9

　図のように、5Ωの抵抗、200mHのインダクタンスをもつコイル、20μFの静電容量をもつコンデンサを直列に接続した回路に周波数f〔Hz〕の正弦波交流電圧E〔V〕を加えた。周波数fを回路に流れる電流が最大となるように変化させたとき、コイルの両端の電圧の大きさは抵抗の両端の電圧の大きさの何倍か。最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）5　（2）10　（3）15　（4）20　（5）25倍

出題のポイント：これは尖鋭度 $Q$ を聞いている

共振時、コイルと抵抗には同じ電流が流れます（直列だから）。電圧の比は $V_L/V_R=\omega L/R$——これがそのまま尖鋭度 $Q$ です。

共振時の $\omega L$ は $\sqrt{L/C}$ で計算できます。$\omega=1/\sqrt{LC}$ を代入すると $\omega L=L/\sqrt{LC}=\sqrt{L/C}$——共振周波数を経由せずに求まる便利な式です。

尖鋭度 $Q$

$$Q=\frac{V_L}{V_R}=\frac{\omega L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$

※$Q$ は共振の鋭さを表すと同時に、共振時に素子に現れる電圧が電源電圧の何倍かも表します。

RLC直列共振の出題ポイント。R=5Ω、L=200mH、C=20μFの直列回路で、電流最大なら直列共振、XL=XC、Z=R、問われる比はVL/VR=ωL/Rであることを示す図。 — 出題のポイント。電流最大は直列共振を意味し、コイル電圧と抵抗電圧の比はQ＝ωL/Rで求めます。

解説：2通りの道どちらでも同じ

$$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{0.2\times20\times10^{-6}}}=\frac{1}{2\times10^{-3}}=500\;\mathrm{rad/s}$$

❶ 共振角周波数
$LC=4\times10^{-6}$

$$\omega L=500\times0.2=100\;\Omega$$

❷ 誘導性リアクタンス

$$Q=\frac{\omega L}{R}=\frac{100}{5}=20$$

❸ 比

別解として $\sqrt{L/C}$ を直接計算することもできます。$\sqrt{0.2/(20\times10^{-6})}=\sqrt{10\,000}=100\;\Omega$——共振周波数を求めずに済みます。

検算：$1/(\omega C)=1/(500\times20\times10^{-6})=100\;\Omega$ ✓ $\omega L$ と一致——確かに共振していることが確認できます。

RLC直列共振のポイント解説。共振時はXL=XCで合成リアクタンスが0、Z=R。VL=IωL、VR=IRよりVL/VR=ωL/R=Q、さらにω0L=√(L/C)、Q=(1/R)√(L/C)を導く図。 — ポイント解説。直列回路なので同じ電流Iが流れ、電圧比ではIが消えてQ＝ωL/Rだけが残ります。

答え$V_L/V_R=20$ 倍　→　選択肢(4)

RLC直列共振の問題解説1枚目。L=200mH=0.2H、C=20μF=20×10^-6F、ω0=1/√LC、ω0L=√(L/C)=√(0.2/(20×10^-6))=100Ωを計算する図。 — 問題の解説1/2。まず単位をそろえ、共振時のコイルのリアクタンスω0Lを100Ωと求めます。

RLC直列共振の問題解説2枚目。直列なので同じ電流Iが流れ、VL=Iω0L、VR=IR、VL/VR=ω0L/R=100/5=20、答え4を導く図。 — 問題の解説2/2。抵抗電圧との比は100/5=20です。したがってコイル電圧は抵抗電圧の20倍、答えは(4)です。

共振時に何が起きているのか

共振時は $\dot Z=R$ なので、電源電圧はすべて抵抗にかかります。$V_R=E$ です。

素子	電圧	電源電圧との比	位相
抵抗 $R$	$V_R=E$	1倍	電流と同相
コイル $L$	$V_L=20E$	20倍	90°進み
コンデンサ $C$	$V_C=20E$	20倍	90°遅れ

$V_L$ と $V_C$ はどちらも電源電圧の20倍ですが、向きが正反対なので合計するとゼロになります。電源から見れば抵抗だけ——これが直列共振の姿です。

電源電圧が100 V なら、コイルには2 000 V がかかります。これは実務上きわめて重要な事実です。共振回路の素子は、電源電圧の何倍もの耐圧が必要になります。

⚠️ よくある間違い
「電源電圧より大きな電圧が回路内に現れるのはおかしい」と感じるかもしれませんが、共振回路では普通に起こります。エネルギーが $L$ と $C$ の間を往復しながら蓄積されるためです。

深掘り①：$Q$ が持つ3つの意味

$Q$ の意味	式	本問での値
素子電圧の倍率	$V_L/E$	20倍
共振の鋭さ	$f_r/\Delta f$	帯域幅は共振周波数の1/20
エネルギーの比	$2\pi\times\dfrac{\text{蓄積エネルギー}}{\text{1周期の損失}}$	—

$Q$ が大きいほど共振が鋭くなります。本問の $Q=20$ なら、帯域幅は共振周波数の1/20——$f_r\approx80\;\mathrm{Hz}$（$\omega=500$）なので帯域幅は約4 Hz です。

ラジオの同調回路では $Q$ が100以上あります。隣の放送局と混ざらないよう、鋭く選択する必要があるからです。$Q$ を上げるには $R$ を小さくする——損失の少ないコイルを使います。

深掘り②：$Q$ を変える3つの方法

$Q=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ という式から、各素子がどう効くかが読み取れます。

変えるもの	$Q$ への影響	共振周波数への影響
$R$ を半分に	2倍	変わらない
$L$ を4倍に	2倍	1/2 倍
$C$ を4倍に	1/2 倍	1/2 倍

$R$ だけが「共振周波数を変えずに $Q$ を変えられる」——これが $R$ の特別な立場です。$L$ や $C$ を変えると、共振周波数も一緒に動いてしまいます。

実務では、コイルの巻線抵抗が $R$ の主成分になります。太い線を使う、リッツ線を使う——抵抗を減らす工夫が $Q$ を高めることにつながります。

💡 覚え方
「$Q$ は素子電圧の倍率」——この理解がいちばん実感しやすいでしょう。$Q=20$ なら、電源の20倍の電圧がコイルとコンデンサにかかっていると考えてください。

⏱️ 本番での進め方
❶ 共振時の $\omega L=\sqrt{L/C}$。共振周波数を経由せずに求まる。
❷ 比 $V_L/V_R=\omega L/R=Q$。電流が共通なので抵抗値の比になる。
❸ 単位換算を先に。mH → $10^{-3}$、μF → $10^{-6}$。
❹ 検算は $1/(\omega C)$。$\omega L$ と一致すれば共振している。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。