今回は平成18年度 機械科目 A問題13を解説します。R-L回路に単位階段状のステップ電圧を加えたときの電流i(t)の過渡応答波形から、抵抗R、インダクタンスL、周波数伝達関数G(jω)を求める問題です。★自動制御7（令和5年度上期A問題13）は本問と全く同じ回路・数値の問題で、本問（平成18年度）がその元になった出題です。
電流の最終値i(∞)からR＝v(t)/i(∞)を求め、i(∞)の63.2%に達する時刻から時定数T＝L/Rを求め、最後にG(jω)＝1/(R+jωL)の形に整理するという3段階の手順で解きます。
ほぼ同じ問題が 【機械】令和5年度上期A問題13 でも出題されています。出題パターンが固定なので、セットで解けば確実な得点源になります。
平成18年度 機械科目 A問題13：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成18年度 第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題13
電験3種 機械科目 【自動制御】 平成18年度 A問題13
図1に示すR-L回路において，端子a，a’間に単位階段状のステップ電圧v(t)[V]を加えたとき，抵抗R[Ω]に流れる電流をi(t)[A]とすると，i(t)は図2のようになった。この回路のR[Ω]，L[H]の値及び入力をa，a’間の電圧とし，出力をR[Ω]に流れる電流としたときの周波数伝達関数G(jω)の式として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
R[Ω] L[H] G(jω) (1) 10 0.1 0.1/(1+j0.01ω) (2) 10 1 0.1/(1+j0.1ω) (3) 100 0.01 1/(10+j0.01ω) (4) 10 0.1 1/(10+j0.01ω) (5) 100 0.01 1/(100+j0.01ω)
出題のポイント：波形から2つの数値を読む
ステップ応答の波形から、R と L を読み取る問題です。読むべきは「最終値」と「時定数」の2つ——この2つが分かれば、あとは計算だけです。
| 読み取るもの | 波形のどこを見るか | 求まる量 |
| 最終値 i(∞) | 十分時間が経った後の値 | R＝v/i(∞) |
| 時定数 T | ★最終値の63.2 %に達する時刻 | L＝RT |
63.2 %という数字が鍵です。1−e-1＝0.632——時定数1つ分の時間で最終値の63.2 %に達するという性質から、波形の立ち上がり方だけで時定数が読めるのです。
R と L を求める
単位階段状のステップ電圧なので v＝1 V。波形から最終値0.1 A、時定数0.01 s を読み取ります。
最終値ではリアクトルが短絡と同じ
T＝L/R を変形
最終値でリアクトルが「ないのと同じ」になるのは、電流が変化しなくなれば L·di/dt＝0 だからです。直流に対してリアクトルは短絡——だから R だけで電流が決まります。
周波数伝達関数に直す
入力が電圧、出力が電流ですから、伝達関数はアドミタンス（インピーダンスの逆数）になります。
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★一次遅れの標準形にする
⚠️ よくある間違い
(4)は R＝10、L＝0.1 まで合っているのに、G が 1/(10＋j0.01ω)——jω の係数が違います。L＝0.1 なら jωL＝j0.1ω のはず——0.01 では L＝0.01 H になってしまい、自分の答えと矛盾します。
「R と L の値と、伝達関数が整合しているか」を確かめる——この検算だけで(4)が落とせます。
(3)(5)は R＝100——最終値の読み取りを間違えた場合です。
標準形に直す意味
1/(10＋j0.1ω) と 0.1/(1＋j0.01ω) は同じ式ですが、後者のほうが情報が読み取りやすいのです。
| 形 | 読み取れること |
| 1/(10＋j0.1ω) | そのままでは分かりにくい |
| ★0.1/(1＋j0.01ω) | ゲイン0.1（−20 dB）、時定数0.01 s、折れ点100 rad/s |
分母の実部を1 にそろえるのが標準形です。そうすれば jω の係数がそのまま時定数——折れ点角周波数はその逆数だと即座に分かります。
ボード線図を描くときも、この形でないと始まりません。低域ゲインは分子の0.1、折れ点は1/0.01＝100 rad/s——2つの数値がそのまま図になるのです。
選択肢に両方の形が混じっているのは、この変形ができるかを試しているから。分母分子を同じ数で割っても値は変わらない——当たり前のことですが、慌てていると見落とします。
⏱️ 本番での進め方
① 最終値から R＝v/i(∞)＝1/0.1＝10 Ω。
②★63.2 %に達する時刻が時定数。T＝0.01 s。
③ L＝RT＝10×0.01＝0.1 H。
④ G＝1/(R＋jωL)。標準形に直すと 0.1/(1＋j0.01ω)。
💡 覚え方
「最終値が R、63.2 %の時刻が T」——ステップ応答の波形から2つの量が読める。そして「分母の実部を1 にそろえるのが標準形」——折れ点と低域ゲインが一目で分かります。
本問と同じ回路・同じ数値の問題が令和5年度上期 A問題13にあります（自動制御：R-L回路のステップ応答と伝達関数）。本問が元になった再出題です。
時定数の読み取り方あれこれ
波形から時定数を読む方法は、63.2 %だけではありません。いくつかの読み方を知っておくと、図が粗くても対応できます。
| 読み方 | やり方 | 使いどころ |
| 63.2 %法 | 最終値の63.2 %に達する時刻 | ★最も基本。目盛りが読めるとき |
| 初期接線法 | t＝0 での接線が最終値と交わる時刻 | 立ち上がりが読めるとき |
| 95 %法 | 95 %到達時刻の1/3 | ほぼ整定した時刻から逆算 |
指数関数の重要な性質を整理しておきましょう。時定数の何倍でどこまで到達するかは、覚えておくと検算に使えます。
| 経過時間 | 到達率 | 残り |
| T（時定数1つ分） | 63.2 % | 36.8 % |
| 2T | 86.5 % | 13.5 % |
| 3T | 95.0 % | 5.0 % |
| 5T | 99.3 % | 0.7 % |
「3T でほぼ95 %、5T でほぼ整定」——実務でも「整定時間は時定数の3〜5倍」という目安が使われます。本問なら T＝0.01 s なので、0.05 s でほぼ定常だと分かります。
初期接線法は「最初の勢いのまま進んだら、いつ最終値に届くか」という考え方。その時刻がちょうど時定数になります——指数関数の微分方程式から自然に出てくる性質です。
まとめ
| R | 10 Ω |
| 時定数τ=L/R | 0.01 s |
| L | 0.1 H |
| G(jω) | 0.1/(1+j0.01ω) |
| 答え | (1) |
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