自動制御3【電験3種 機械】ボード線図の折れ線近似から伝達関数とブロック線図を特定！令和2年度 B問題17 完全解説

今回は令和2年度 機械科目 B問題17を解説します。折れ線近似で描かれたボード線図（ゲイン特性）から、それを表す周波数伝達関数の式(a)と、対応するブロック線図(b)を選ぶ2段構成の問題です。

(a)は折れ点角周波数と低域ゲインの値からW(jω)＝100/(1+j0.5ω)の形を特定します。(b)は各選択肢のブロック線図を実際に閉ループ公式で計算し、(a)の結果と一致するものを選ぶ方針です。

令和2年度 機械科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【自動制御】 令和2年度 B問題17

　図は，ある周波数伝達関数W(jω)のボード線図の一部であり，折れ線近似でゲイン特性を示している。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）図のゲイン特性を示す周波数伝達関数として，最も適切なものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）100/(1+jω)
（2）40/(1+j0.5ω)
（3）100/(1+j2ω)
（4）200/(1+jω)
（5）100/(1+j0.5ω)

（b）図のゲイン特性を示すブロック線図として，最も適切なものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし，入力をR(jω)，出力をC(jω)とし，いずれも「R(jω)→加算点(+/-)→ブロックA→分岐点→ブロックB→C(jω)」の形で，下側フィードバック経路がブロックAの入力の-側へ戻る負帰還構造とする。

（1）ブロックA＝1/jω，ブロックB＝40，フィードバック経路＝直結（ゲイン1）
（2）ブロックA＝1/jω，ブロックB＝100，フィードバック経路＝直結（ゲイン1）
（3）ブロックA＝1/j0.005ω，ブロックB＝100，フィードバック経路＝直結（ゲイン1）
（4）ブロックA＝1/jω，ブロックB＝200，フィードバック経路＝ゲイン2のブロック
（5）ブロックA＝1/jω，ブロックB＝200，フィードバック経路＝ゲイン0.5のブロック

出題のポイント：40 dBと折れ点2 rad/sを読む

低域ゲイン40 dBは倍率100を表します。折れ点角周波数2 rad/sから時定数T＝0.5 sを求めると、W(jω)＝100/(1＋j0.5ω)です。折れ点以後は1デカードごとに20 dB低下します。

ポイント解説：選択肢（4）の負帰還ブロックを計算

折れ線近似のボード線図から伝達関数を求めるには、低域の水平部分のゲイン（一定値）と、折れ点角周波数（傾きが変わる点）の2つの情報を読み取ります。

ブロック線図の選択問題では、与えられた伝達関数を満たすブロック線図の形は一意ではないため、各選択肢を実際に閉ループ公式で計算し、(a)の結果と一致するかを確認するのが確実な方法です。

問題の解説：（a）は（5）、（b）は（4）

STEP1　(a) 低域ゲインから比例定数を求める

0<ω<2の範囲でg=40dBが一定なので、$$40=20\log_{10}|W(j\omega)|\Rightarrow|W(j\omega)|=100$$

STEP2　(a) 折れ点角周波数から時定数を求める

ω>2では傾き-20dB/decの直線で、折れ点角周波数はω=2。分母の折れ点は1=0.5ωの形になるように定数を選ぶと、

$$W(j\omega)=\frac{100}{1+j0.5\omega}$$

これは選択肢(5)と一致します。

STEP3　(b) 各選択肢のブロック線図を閉ループ公式で計算する

単位フィードバック閉ループ公式 W=[ブロックA]/(1+[ブロックA])×[ブロックB] を各選択肢に適用すると，

(1)→40/(1+jω)　(2)→100/(1+jω)　(3)→100/(1+j0.005ω)

(4)→200/(2+jω)=100/(1+j0.5ω)　(5)→200/(0.5+jω)

STEP4　(a)の結果と一致する選択肢を選ぶ

(4)の200/(2+jω)を整理すると100/(1+j0.5ω)となり、STEP2で求めた(a)の結果と完全に一致します。

したがって(b)は(4)が正解です。

答え：(a)-(5)，(b)-(4)

まとめ

低域ゲイン	40dB→|W|=100
折れ点角周波数	ω=2
(a)の答え	100/(1+j0.5ω)
(b)の答え	(4)（200/(2+jω)=100/(1+j0.5ω)）

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