同期機23【電験3種 機械】同期電動機のベクトル図と負荷角！平成24年 B問題16 完全解説

今回は平成24年度 機械科目 B問題16を解説します。同期電動機の内部誘導起電力と負荷角を、ベクトル図と出力式から求める2問構成です。

電動機では \(\dot{E}_0=\dot{E}-jx\dot{I}\)、出力は \(P=\dfrac{3E_0E}{x}\sin\delta\) を使います。

問題文と選択肢

　三相同期電動機が定格電圧3.3 kVで運転している。ただし，三相同期電動機は星形結線で1相当たりの同期リアクタンスは10 Ωであり，電機子抵抗，損失及び磁気飽和は無視できるものとする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）　負荷電流（電機子電流）110 A，力率 cosφ＝1 で運転しているときの1相当たりの内部誘導起電力[V]の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　1 100　(2)　1 600　(3)　1 900　(4)　2 200　(5)　3 300

（b）　上記(a)の場合と電圧及び出力は同一で，界磁電流を1.5倍に増加したときの負荷角（電動機端子電圧と内部誘導起電力との位相差）を δ′ とするとき，sinδ′ の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　0.250　(2)　0.333　(3)　0.500　(4)　0.707　(5)　0.866

出題のポイント：電動機のベクトル関係と出力一定条件を使い分ける

同期電動機では、端子相電圧を基準にすると内部誘導起電力はE0＝Vφ－jXsIです。力率1ではVφとIが同相なので、Vφ、XsI、E0が直角三角形になります。界磁を強めた後も端子電圧と出力が同じならE0 sinδが一定となり、E0の増加に応じて負荷角δは小さくなります。

ポイント解説：界磁を強めても出力一定ならE0 sinδは変わらない

同期電動機の内部誘導起電力は \(\dot E_0=\dot E-jx\dot I\)（電源電圧 \(\dot E\) から電圧降下を引く）。(a) 力率1では \(\dot I\) が \(\dot E\) と同相なので \(E_0=\sqrt{E^2+(xI)^2}\)。(b) 出力 \(P=\dfrac{3E_0E}{x}\sin\delta\) は一定で、界磁1.5倍なら \(E_0’=1.5E_0\)、\(\sin\delta’=\dfrac{xP}{3E_0’E}\)。

$$\dot E_0=\dot E-jx\dot I,\qquad P=\frac{3E_0E}{x}\sin\delta$$

問題の解説：内部誘導起電力2200 Vとsinδ′＝0.333を求める

STEP1　相電圧と内部誘導起電力（a）

相電圧 \(E=3\,300/\sqrt3\fallingdotseq1\,905.3\) V。力率1なので \(\dot I=110\angle0\)。

$$\dot E_0=1\,905.3-j10\times110=1\,905.3-j1\,100$$

$$E_0=\sqrt{1\,905.3^2+1\,100^2}\fallingdotseq2\,200\ [\mathrm V]$$

よって（a）は(4)。

STEP2　出力を求める

$$P=3EI\cos\varphi=3\times1\,905.3\times110\times1\fallingdotseq0.629\ [\mathrm{MW}]$$

STEP3　界磁1.5倍の sinδ’（b）

\(E_0’=2.2\times1.5=3.3\) kV（相）、\(E=1.905\) kV。電圧kV・出力MWで単位を統一して、

$$\sin\delta’=\frac{xP}{3E_0’E}=\frac{10\times0.629}{3\times1.905\times3.3}\fallingdotseq0.333$$

よって（b）は(2)。

答え：(a) (4)、(b) (2)

まとめ

相電圧	\(E=3.3\mathrm{k}/\sqrt3\fallingdotseq1\,905\,\mathrm V\)
内部誘導起電力	\(E_0=\sqrt{1\,905^2+1\,100^2}\fallingdotseq2\,200\,\mathrm V\)…(a)(4)
負荷角	\(E_0’=3.3\,\mathrm{kV},\ \sin\delta’=\dfrac{10\times0.629}{3\times1.905\times3.3}\fallingdotseq0.333\)…(b)(2)
答え	(a) (4)、(b) (2)

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