同期機25【電験3種機械】同期電動機の等価回路から誘導起電力！令和2年 A問題5 完全解説

2026年7月5日2026年8月8日

電験3種機械科目同期機令和2年度 A問題5 等価回路で一発計算！同期電動機の起電力

今回は令和2年度機械科目 A問題5を解説します。同期電動機の1相分の等価回路から、力率1のときの誘導起電力を求める問題です。

等価回路の関係 \(\dot E=\dot V-jx_s\dot I\) に代入し、複素数の大きさを求めます。

問題文と選択肢

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和2年度第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題5

　図はある三相同期電動機の1相分の等価回路である。ただし，電機子巻線抵抗は無視している。相電圧 V̇ の大きさは V=200 V，同期リアクタンスは x_s=8 Ωである。この電動機を運転して力率が1になるように界磁電流を調整したところ，電機子電流 İ の大きさ I が10 Aになった。このときの誘導起電力 E の値[V]として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　120　(2)　140　(3)　183　(4)　215　(5)　280

出題のポイント：力率1なら三平方の定理だけ

同期電動機の等価回路は、電源電圧・同期リアクタンス・誘導起電力の3つが直列に並んだ、たいへん単純な形をしています。この回路で電圧の関係を書き、ベクトル図にすれば答えが出ます。

	同期発電機	同期電動機
電力の向き	機械 → 電気（送り出す）	電気 → 機械（受け取る）
電圧方程式	\( \dot{E}=\dot{V}+jx_s\dot{I} \)	\( \dot{E}=\dot{V}-jx_s\dot{I} \)
誘導起電力の大きさ	端子電圧より大きくなりやすい	端子電圧より小さくなりやすい
負荷角 δ	E が V より進む	E が V より遅れる

力率1のときだけは、両者の区別が計算結果に出てきません。\( \dot{V} \) と \( \dot{I} \) が同相なら \( jx_s\dot{I} \) は \( \dot{V} \) と直角——符号がプラスでもマイナスでも、直角三角形の斜辺の長さは同じだからです。だから力率1の問題は、三平方の定理ひとつで片づきます。

同期電動機の1相等価回路とE=V−jxsI、力率1の正しいベクトル図 — 電動機ではE＝V−jxsIで、力率1ならE＝200−j80 Vです。

与えられた値を整理する

本問は「相電圧」がそのまま与えられている点が親切です。三相の問題では線間電圧で与えられることが多く、その場合は √3 で割る一手間が要ります——本問はその手間がない分、素直に計算できます。

記号	意味	値
V	1相分の相電圧	200 V
x_s	1相分の同期リアクタンス	8 Ω
I	電機子電流	10 A
cos θ	力率（界磁電流で調整した）	1.0
電機子巻線抵抗	無視する	0 Ω

リアクタンス降下を先に出す

同期リアクタンスによる電圧降下

\( x_s I = 8 \times 10 = 80\ [\mathrm{V}] \)

この 80 V が、相電圧 200 V と直角に立つ辺になります。

ここが計算の要です。力率1なら \( \dot{I} \) は \( \dot{V} \) と同相——\( j \) が掛かっている \( jx_s\dot{I} \) は、\( \dot{V} \) から 90° 回った向きを持ちます。だからベクトル図は直角三角形になります。

三平方の定理で誘導起電力を求める

力率1のときの誘導起電力

\( E=\sqrt{V^{2}+(x_s I)^{2}} \)

力率1に限り、発電機でも電動機でもこの形になります。

\( E=\sqrt{200^{2}+80^{2}} \)

代入
V＝200、x_sI＝80 を入れる

\( \phantom{E}=\sqrt{40000+6400} \)

2乗
200²＝40000、80²＝6400

\( \phantom{E}=\sqrt{46400} \)

加算
足し合わせる

\( \phantom{E}\fallingdotseq 215.4\ [\mathrm{V}] \)

平方根
215²＝46225 なので 215 を少し超える

令和2年機械A問題5で誘導起電力200−j80Vから大きさ215Vを求める計算図 — |E|＝√(200²＋80²)＝約215 Vとなるため、正解は(4)です。

答え正解は (4) 215 Vです。相電圧 200 V とリアクタンス降下 80 V を直角二辺とする三角形の斜辺——200 より少しだけ大きい値になります。

選択肢の作られ方を読む

⚠️ よくある間違い
(1) 120 Vは 200 − 80 と単純に引き算した値、(5) 280 Vは 200 + 80 と単純に足した値です。ベクトルを「向きのある量」として扱わず、大きさだけで加減してしまったときに出てくる典型的な誤りです。
(3) 183 Vは \( \sqrt{200^{2}-80^{2}} \) の値——直角三角形の「斜辺」と「一辺」を取り違えたケースです。誘導起電力 E は必ず斜辺の側——だから力率1では E > V になる、と向きを固定して覚えてください。

4つの選択肢のうち3つが、この1問の「間違え方」を丁寧に用意していることが分かります。逆に言えば、ベクトル図さえ正しく描ければ迷う余地はありません。

別解：複素数のまま押し通す

\( \dot{V} \) を基準（実軸）に取ると、力率1なので \( \dot{I}=10\ \mathrm{A} \)（実数）です。

\( \dot{E}=\dot{V}-jx_s\dot{I} \)

電動機の式
電動機なので符号はマイナス

\( \phantom{\dot{E}}=200-j\,8\times10 \)

代入
数値を入れる

\( \phantom{\dot{E}}=200-j80 \)

整理
実部200、虚部−80

\( |\dot{E}|=\sqrt{200^{2}+80^{2}}\fallingdotseq 215 \)

大きさ
結局は同じ三平方

符号がマイナスでも、大きさを取るときに2乗するので結果は変わりません。発電機か電動機かで悩んで手が止まるくらいなら、力率1の問題では気にせず三平方で進めてよい——これが本番での割り切りです。

⏱️ 本番での進め方
①「力率1」の4文字を見たら、その場でベクトル図を直角三角形と決める。
② x_sI を先に計算する（8×10＝80）。
③ 200²＋80²＝46400。平方根は 215²＝46225 と当たりをつければ即決。
④ 選択肢に 120 と 280 が並んでいたら「引き算・足し算の罠」だと気づく。

💡 覚え方
力率1の同期機は「200と80の直角三角形」。E は必ず斜辺だから、V より大きい——「斜辺は一番長い」という中学数学がそのまま答えの検算になります。

出題履歴：相電圧版と線間電圧版がある

同じ計算が、令和6年上期 A問題6でも出題されています（同期機24：同期電動機の誘導起電力をベクトル図で）。違いは電圧の与えられ方だけです。

	令和2年問5（本問）	令和6年上期問6
与えられる電圧	相電圧 200 V	線間電圧 360 V
最初の一手	そのまま使える	√3 で割って相電圧にする
x_sI	8×10＝80 V	6×20＝120 V
答え	215 V	240 V

本問で三平方の形を身につけておけば、線間電圧版は「最初に √3 で割る」だけの差です。逆に、その一手を忘れると答えが1.7倍ずれて、しかもその値が選択肢に用意されています——2問セットで練習しておく価値があります。

同期電動機と発電機の符号を区別し、200−j80Vの大きさを求める図 — 負の虚数成分でも、大きさは√(200²＋80²)で求めます。

「力率が1になるように界磁電流を調整した」の意味

問題文のこの一文は、単に計算を楽にするための設定ではありません。同期電動機だけが持つ「界磁電流で力率を操れる」という性質を前提にした条件です。

誘導電動機の力率は、負荷が決まればほぼ決まってしまいます。ところが同期電動機は、負荷を変えずに界磁電流だけを増減させると、電機子電流の位相が変わります——だから運転者が力率を選べるのです。

界磁電流	状態の呼び名	電機子電流の位相	系統から見ると
弱い	不足励磁	遅れ	誘導性負荷（遅れ無効電力を消費）
ちょうどよい	適正励磁	同相（力率1）	有効電力だけを消費
強い	過励磁	進み	容量性負荷（進み無効電力を供給）