単相交流45【電験3種 理論】周波数で変わるRLC回路のR₁の電流比を求める！平成24年度 A問題10 完全解説

今回は平成24年度 理論科目 A問題10を解説します。R₁・R₂・C・Lからなる回路で、f＝10Hzとf＝10MHzのときにR₁を流れる電流の比I_10Hz/I_10MHzを求める問題です。

2つの周波数での回路の様子がポイント。f＝10HzはちょうどLCの並列共振（Z_L＝Z_C）で並列部が開放、f＝10MHzはコンデンサがほぼ短絡になります。

出題のポイント

平成24年度 理論科目 A問題10：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 平成24年度 A問題10

　図のように、R₁＝20〔Ω〕とR₂＝30〔Ω〕の抵抗、静電容量C＝1/(100π)〔F〕のコンデンサ、インダクタンスL＝1/(4π)〔H〕のコイルからなる回路に周波数f〔Hz〕で実効値V〔V〕が一定の交流電圧を加えた。f＝10〔Hz〕のときにR₁を流れる電流の大きさをI_10Hz〔A〕、f＝10〔MHz〕のときにR₁を流れる電流の大きさをI_10MHz〔A〕とする。このとき、電流比I_10Hz/I_10MHzの値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）0.4　（2）0.6　（3）1.0　（4）1.7　（5）2.5

ポイント解説：低周波は並列共振（LC開放）、高周波はC短絡

R₁に流れる電流はI＝V/(R₁＋Z_p)、Z_pは並列部C∥L∥R₂のインピーダンス。2つの周波数での並列部の様子を調べます。

f＝10HzではX_L＝X_C＝5Ωの並列共振でL∥Cが開放、並列部はR₂だけ。f＝10MHzではCがほぼ短絡し、並列部は0Ω。

問題の解説

STEP1　f＝10Hzのとき

ω＝2π×10＝20π。X_L＝ωL＝20π×1/(4π)＝5Ω、X_C＝1/(ωC)＝1/(20π×1/(100π))＝5Ω。X_L＝X_Cで並列共振→L∥C開放→並列部＝R₂＝30Ω。I_10Hz＝V/(R₁＋R₂)＝V/50。

STEP2　f＝10MHzのとき

ω＝2π×10⁷。X_C＝1/(ωC)≒5×10⁻⁶Ω（ほぼ0＝短絡）、X_L≒5×10⁶Ω（ほぼ開放）。Cが短絡で並列部＝0Ω。I_10MHz＝V/R₁＝V/20。

STEP3　電流比を求める

$$\frac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}}=\frac{V/50}{V/20}=\frac{20}{50}=0.4$$したがって(1)です。

答え：(1)（電流比＝0.4）

まとめ

f＝10Hz	並列共振でR2のみ→I＝V/50
f＝10MHz	C短絡→I＝V/20
比	(V/50)/(V/20)
答え	0.4 …(1)

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