電子の運動19【電験3種 理論】電子の運動エネルギーと速度の関係（v∝√K）を計算する！平成20年度 A問題12 完全解説

今回は平成20年度 理論科目 A問題12を解説します。真空中で電子の運動エネルギーが400eVのときの速さから、運動エネルギーが100eVのときの速さを求める計算問題です。

運動エネルギーK=½mv²は速度vの2乗に比例します。したがって速度は運動エネルギーの平方根に比例し、v₂=v₁√(K₂/K₁)で計算できます。eV単位のまま比で扱えるのがポイントです。

出題のポイント

平成20年度 理論科目 A問題12：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 平成20年度 A問題12

　真空中において、電子の運動エネルギーが400[eV]のときの速さが1.19×10⁷[m/s]であった。電子の運動エネルギーが100[eV]のときの電子の速さ[m/s]の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）2.98×10⁶　（2）5.95×10⁶　（3）2.38×10⁷　（4）2.98×10⁹　（5）5.95×10⁹

ポイント解説：運動エネルギーは速度の2乗に比例（v∝√K）

電子の運動エネルギーはK=½mv²で表され、速度vの2乗に比例する。したがって速度は運動エネルギーの平方根に比例し、2つの状態を比べると v₂=v₁√(K₂/K₁) となる。質量mや電荷は共通なので、eV単位のまま比で計算できる。

K₁=400eVで v₁=1.19×10⁷[m/s]、K₂=100eVのとき、v₂=1.19×10⁷×√(100/400)=1.19×10⁷×√(1/4)=1.19×10⁷×(1/2)≒5.95×10⁶[m/s]。運動エネルギーが1/4になると速度は1/2になる。よって(2)。

問題の解説

STEP1　速度と運動エネルギーの関係

K=½mv²より v=√(2K/m)。よってv∝√K（速度は運動エネルギーの平方根に比例）。

STEP2　比で計算

v₂=v₁√(K₂/K₁)=1.19×10⁷×√(100/400)=1.19×10⁷×(1/2)。

STEP3　結論

v₂≒5.95×10⁶[m/s]。運動エネルギー1/4→速度1/2。よって(2)。

答え：(2)

まとめ

関係	K=½mv²→v∝√K
比	v₂=v₁√(K₂/K₁)
計算	1.19×10⁷×(1/2)
答え	5.95×10⁶ m/s（(2)）

▼あわせて解きたい関連問題
・平等電界中の電子の運動エネルギー（電子の運動7）：【理論】令和4年度上期 A問題12