今回は平成20年度 理論科目 A問題12を解説します。真空中で電子の運動エネルギーが400eVのときの速さから、運動エネルギーが100eVのときの速さを求める計算問題です。
運動エネルギーK=½mv²は速度vの2乗に比例します。したがって速度は運動エネルギーの平方根に比例し、v₂=v₁√(K₂/K₁)で計算できます。eV単位のまま比で扱えるのがポイントです。
平成20年度 理論科目 A問題12：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成20年度 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題12
電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 平成20年度 A問題12
真空中において、電子の運動エネルギーが400[eV]のときの速さが1.19×107[m/s]であった。電子の運動エネルギーが100[eV]のときの電子の速さ[m/s]の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
（1）2.98×106 （2）5.95×106 （3）2.38×107 （4）2.98×109 （5）5.95×109
出題のポイント：運動エネルギーの比から速度比を平方根で求める
同じ電子では質量mが共通なので、運動エネルギーK＝1/2mv²の比を取れば定数を使わずに解けます。K₂/K₁＝v₂²/v₁²より、v₂/v₁＝√(K₂/K₁)です。K₁＝400 eV、v₁＝1.19×10⁷ m/s、K₂＝100 eVを代入すると、v₂＝1.19×10⁷×√(100/400)＝1.19×10⁷×1/2＝5.95×10⁶ m/sとなります。したがって正解は選択肢（2）です。エネルギーが4分の1なら、速度は平方根を取って2分の1になる点が要点です。
ポイント解説：K＝1/2mv²の比を取り、v∝√Kを導く
平方根
理論値でも確かめられます。\(v=\sqrt{\dfrac{2eW}{m}}\) に \(W=100\ \mathrm{eV}\) を入れると \(5.93\times10^{6}\ \mathrm{m/s}\)——比で求めた値とほぼ一致します。
与えられた \(1.19\times10^{7}\) も、400 eVの理論値 \(1.186\times10^{7}\) とぴたりです。問題文の数値が正確に作られていることが確認できます。
問題の解説：数値と指数を整理し、選択肢（2）を選ぶ
| 選択肢 | 値〔m/s〕 | どんな誤りか | 判定 |
| (1) | \(2.98\times10^{6}\) | \(1/4\) 倍としてしまう（平方根を忘れる） | × |
| (2) | \(5.95\times10^{6}\) | 正解 | ◎ |
| (3) | \(2.38\times10^{7}\) | 2倍としてしまう（増減が逆） | × |
| (4) | \(2.98\times10^{9}\) | 光速の10倍 | ×（物理的に不可能） |
| (5) | \(5.95\times10^{9}\) | 光速の20倍 | ×（物理的に不可能） |
光速は \(3\times10^{8}\ \mathrm{m/s}\)——(4)(5)はこれを超えているので、計算するまでもなく消せます。「桁を確認する」習慣があれば一瞬です。
(3)の \(2.38\times10^{7}\) は基準の2倍です。エネルギーが減ったのに速さが増える——物理的におかしいと気づけます。
⚠️ よくある間違い
「エネルギーが \(1/4\) だから速さも \(1/4\)」は誤りです。\(W\propto v^{2}\) なので \(v\propto\sqrt{W}\)——\(\sqrt{1/4}=1/2\) です。選択肢(1)がこの誤りの受け皿になっています。
☝️ ひっかけの作り方：与えられた「400 eVで \(1.19\times10^{7}\)」を使わずに、定数から計算しても解けます。ただし電気素量と電子の質量を覚えている必要がある——比を使うほうが速くて確実です。
深掘り①：光速チェックという武器
速さを求める問題では、必ず光速と比べてください。\(3\times10^{8}\ \mathrm{m/s}\) を超える答えは、どんな計算をしても間違いです。
| 速さ | 光速との比 | 現実にあるか |
| \(10^{6}\ \mathrm{m/s}\) | 0.3 % | 数 eVの電子（真空管） |
| \(10^{7}\ \mathrm{m/s}\) | 3 % | 数百 eVの電子（本問） |
| \(10^{8}\ \mathrm{m/s}\) | 33 % | 数十 keVの電子（ブラウン管） |
| \(10^{9}\ \mathrm{m/s}\) | 333 % | 存在しない |
電験3種で扱う電子の速さは、たいてい \(10^{6}\sim10^{7}\ \mathrm{m/s}\) です。それより2桁以上大きい選択肢が出てきたら、まず疑ってください。
逆に \(10^{3}\ \mathrm{m/s}\) のような小さすぎる値も不自然です。音速（340 m/s）程度の電子は、常温の熱運動でも出ない——電界で加速すればもっと速くなります。
深掘り②：エネルギーと速さの対応表
よく出るエネルギーと速さの対応を、いくつか覚えておくと検算に使えます。
| エネルギー | 速さ | 覚え方 |
| 1 eV | \(5.9\times10^{5}\ \mathrm{m/s}\) | 約\(6\times10^{5}\) |
| 100 eV | \(5.9\times10^{6}\ \mathrm{m/s}\) | 10倍（\(\sqrt{100}\)） |
| 400 eV | \(1.19\times10^{7}\ \mathrm{m/s}\) | 20倍（\(\sqrt{400}\)） |
| 10000 eV | \(5.9\times10^{7}\ \mathrm{m/s}\) | 100倍（\(\sqrt{10^{4}}\)） |
基準は「1 eVで約 \(5.9\times10^{5}\ \mathrm{m/s}\)」です。あとはエネルギーの平方根を掛けるだけ——\(v\fallingdotseq5.9\times10^{5}\sqrt{W\mathrm{[eV]}}\) という便利な形になります。
本問なら \(5.9\times10^{5}\times\sqrt{100}=5.9\times10^{6}\)——選択肢(2)とぴたり合います。比を使わなくても、この公式1本で解けます。
深掘り③：比例関係を見抜く力
「AのときBだった。CのときDはいくつか」型の問題は、電験のあらゆる分野で出てきます。比例の型を覚えておきましょう。
| 関係 | \(x\) が \(k\) 倍のとき \(y\) は | 電験での例 |
| \(y\propto x\) | \(k\) 倍 | 抵抗と電圧（電流一定） |
| \(y\propto x^{2}\) | \(k^{2}\) 倍 | 電流と電力・電圧と電力 |
| \(y\propto\sqrt{x}\) | \(\sqrt{k}\) 倍 | エネルギーと速さ（本問） |
| \(y\propto1/x\) | \(1/k\) 倍 | 周波数と容量性リアクタンス |
| \(y\propto1/x^{2}\) | \(1/k^{2}\) 倍 | 距離とクーロン力 |
比で解けば定数を覚える必要がありません。本番では定数が与えられないことも多いので、比の関係を見抜く力が得点を左右します。
「二乗に比例」の逆は「平方根に比例」——ここを取り違えると、\(1/4\) と \(1/2\) を間違えます。本問の最頻誤答がまさにそれです。
⏱️ 本番での進め方
❶ \(W\propto v^{2}\) → \(v\propto\sqrt{W}\)——平方根を忘れない。
❷ 光速 \(3\times10^{8}\ \mathrm{m/s}\) 超えは即消し——(4)(5)が消える。
❸ エネルギーが減れば速さも減る——増える(3)もおかしい。
❹ \(v\fallingdotseq5.9\times10^{5}\sqrt{W\mathrm{[eV]}}\)——公式1本でも解ける。
💡 覚え方
「4分の1のエネルギーなら、半分の速さ」——\(\sqrt{1/4}=1/2\) です。9分の1なら3分の1、16分の1なら4分の1——平方数で考えると暗算できます。
★重要：令和4年度上期にそのまま再出題された
令和4年度上期A問題12は、本問と完全に同一の問題です。数値も5つの選択肢の並びも、正答番号(2)まですべて同じ——14年の時を経ての再出題でした。
| 本問（平成20年度 A問題12） | 令和4年度上期 A問題12 | |
| 条件 | 400 eVで \(1.19\times10^{7}\ \mathrm{m/s}\) | 完全に同一 |
| 問われるもの | 100 eVのときの速さ | 完全に同一 |
| 選択肢 | 2.98e6／5.95e6／2.38e7／2.98e9／5.95e9 | 並びも同じ |
| 正答番号 | (2) | (2) |
選択肢の並びさえ変えずに再出題されました。当サイトで確認している「完全同一ペア」はこれで7組目です。
⚠️ よくある間違い
「電子の運動」は出題パターンが少ない分野です。作問の自由度が低いぶん、過去問がほぼそのまま再利用される——逆に言えば、過去問を1周すれば得点源にできる分野です。
出題履歴：エネルギーと速さの関係は必修
比の関係だけで解ける問題は、知識より「気づき」が問われます。定数が与えられていないことに気づけば、比で解くしかないと分かる——問題文の情報から解法を逆算する訓練になります。
この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。
あわせて解いておきたい記事：【理論】令和4年度上期A問題12（完全に同一の問題）
まとめ
| 関係 | K=½mv²→v∝√K |
| 比 | v₂=v₁√(K₂/K₁) |
| 計算 | 1.19×10⁷×(1/2) |
| 答え | 5.95×10⁶ m/s（(2)） |
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