電気加熱4【電験3種 機械】放射伝熱の空所補充と円柱の熱伝導による熱流の計算！令和3年度 B問題17 完全解説

今回は令和3年度 機械科目 B問題17を解説します。熱媒体を必要としない放射による熱流の式を問う空所補充(a)と、直径1m・高さ0.1mの円柱の高さ方向に流れる熱流(b)を求める問題です。★(b)は電気加熱5(a)（平成25年度B問題17）とほぼ同じ円柱設定の類題です。

(a)はステファン・ボルツマンの法則Φ＝S₂F₂₁σ(T₂⁴－T₁⁴)を思い出せるかがポイントです。(b)は円柱の熱抵抗R＝(1/λ)・(L/S)を断面積S＝π×0.5²で計算し、熱のオームの法則で熱流を求めます。

令和3年度 機械科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和3年度 第三種電気主任技術者試験」機械科目 B問題17

電験3種 機械科目 【電気加熱】 令和3年度 B問題17

　熱の伝わり方について，次の(a)及び(b)の問に答えよ．

（a）（ア）は，熱媒体を必要とせず，真空中でも熱を伝達する．高温側で温度T₂〔K〕の面S₂〔m²〕と，低温側で温度T₁〔K〕の面S₁〔m²〕が向かい合う場合の熱流Φ〔W〕は，S₂F₂₁σ（（イ））で与えられる．ただし，F₂₁は，（ウ）である．また，σ〔W/(m²・K⁴)〕は，（エ）定数である．上記の記述中の空白箇所(ア)〜(エ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ．

（b）下面温度が350K，上面温度が270Kに保たれている直径1m，高さ0.1mの円柱がある．伝導によって円柱の高さ方向に流れる熱流Φの値〔W〕として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ．ただし，円柱の熱伝導率は0.26W/(m・K)とする．また，円柱側面からのその他の熱の伝達及び損失はないものとする．

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）
(1)	熱伝導	T₂²-T₁²	形状係数	プランク
(2)	熱放射	T₂²-T₁²	形態係数	ステファン・ボルツマン
(3)	熱放射	T₂⁴-T₁⁴	形態係数	ステファン・ボルツマン
(4)	熱伝導	T₂⁴-T₁⁴	形状係数	プランク
(5)	熱伝導	T₂⁴-T₁⁴	形状係数	ステファン・ボルツマン

（1）3　（2）39　（3）163　（4）653　（5）2420〔W〕

(a) 放射だけが媒体を必要としない

「熱媒体を必要とせず、真空中でも熱を伝達する」——この一文で放射だと決まります。

伝わり方	媒体	真空中で伝わるか
熱伝導	物質が必要	✕
対流	流体が必要	✕
★熱放射	★不要（電磁波）	★○

太陽の熱が宇宙空間を越えて届く——これが放射の何よりの証拠です。途中は真空なので、伝導も対流も起こりません。

(イ) なぜ4乗なのか

ステファン・ボルツマンの法則は「絶対温度の4乗に比例」——2乗ではありません。

温度	放射エネルギーの比
300 K（27 ℃）	1
600 K	★16倍
1,200 K	★256倍

温度が2倍になれば16倍——非常に強い依存性です。だから高温になるほど放射が支配的になります。

また、必ず絶対温度[K]を使う——℃ のまま4乗すると、まったく違う値になります。温度差なら℃ でもK でも同じでしたが、4乗するときは絶対値が要るのです。

(ウ) 形態係数とは

面2 から出た放射のうち、面1 へ到達する割合——0 から1 までの無次元量です。

配置	形態係数F
2面が密着して向かい合う	★1 に近い
離れている・小さい	★0 に近い
完全に囲まれている	1

「形状係数」という選択肢もありますが、正しくは形態係数——幾何学的な配置で決まるので、この名がついています。

(b) 円柱の熱伝導

高さ方向に熱が流れる——断面積は円の面積です。平板の公式がそのまま使えます。

直径1 m なので半径は0.5 m——π×0.5²＝0.785。直径をそのまま使うとπ×1²＝3.14 で4倍になり、熱流も4倍の653 W——選択肢(4) に落ちます。

1つの式にまとめる

熱流だけを問われたなら、この形が速い——掛け算3回と割り算1回で済みます。

ほぼ同じ設定の問題が平成25年度 B問題17にあります（電気加熱：円柱の熱伝導と放射伝熱）。(a)と(b)が入れ替わっているのが特徴です。

λ＝0.26 は何の材料か

熱伝導率0.26 W/(m·K)——数値から材料の見当をつけておきましょう。

材料	λ[W/(m·K)]
コンクリート	1.6
ガラス	1.0
水	0.6
★木材・樹脂	★0.15〜0.3
グラスウール	0.04

0.26 は木材や樹脂に近い値——金属（数十〜数百）とは3桁違います。熱を通しにくい材料だと分かります。

だから断面積0.785 m² という大きな面積でも、熱流は163 W にとどまる——もし金属（λ＝80）なら5万W を超えることになります。

数値の桁から材料の見当がつくようになると、答えの妥当性も判断できるようになります。

熱抵抗0.49 K/W の意味

1 W の熱を流すのに0.49 K の温度差が要る——逆に1 K の温度差なら2.04 W が流れます。

本問は80 K の温度差なので、80×2.04＝163 W——この見方でも同じ答えです。熱抵抗の逆数（熱コンダクタンス）で考えると、掛け算で済みます。

放射・伝導・対流を1つの表に

電気加熱の単元で扱う3つの伝熱——まとめて整理しておきましょう。

	熱伝導	対流	★熱放射
式	Φ＝λSθ/L	Φ＝αSθ	★Φ＝εσAF(T14−T24)
温度の扱い	差でよい	差でよい	★絶対温度が必要
媒体	物質	流体	★不要
係数	λ（材料で決まる）	α（流体と流速）	ε（表面状態）

放射だけが4乗で、絶対温度が必要——他の2つは温度差でよいという違いを押さえてください。

本問は(a)で放射、(b)で伝導——1問の中で2つの伝熱を扱っています。式を混同しないよう、最初に整理してから解くのが確実です。

まとめ

(ア)〜(エ)	熱放射／T₂⁴-T₁⁴／形態係数／ステファン・ボルツマン
(a)	(3)
R	≒0.4897 K/W
Φ=θ/R	≒163 W
(b)	(3)
答え	(a)-(3)，(b)-(3)

▼あわせて解きたい関連問題
・円柱の熱伝導による熱流と放射伝熱の空所補充：【機械】平成25年度B問題17
・壁の熱抵抗と高温側温度の計算：【機械】令和5年度上期B問題17