情報3【電験3種機械】3変数の真理値表からカルノー図で論理式を求める！令和2年度 A問題14 完全解説

2026年7月10日2026年8月9日

電験3種機械科目情報令和2年度 A問題14 真理値表をカルノー図へ！論理式を簡単化する

今回は令和2年度機械科目 A問題14を解説します。入力信号A，B及びC、出力信号Xの論理回路の真理値表から、Xの論理式を選ぶ問題です。

C＼AB形式のカルノー図（2行4列）を描くと、A・BとCの2つの大きなグループにまとまることが視覚的に確認できます。

令和2年度機械科目 A問題14：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種機械科目情報令和2年度 A問題14 問題文 — 令和2年度機械科目 A問題14 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和2年度第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題14

電験3種機械科目【情報】令和2年度 A問題14

　入力信号A，B及びC，出力信号Xの論理回路の真理値表が次のように示されたとき，Xの論理式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

A B C X
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1

（1）A・B + A・C̄ + B・C　（2）A・B̄ + A・C̄ + B・C̄　（3）A・B̄ + C + Ā・B　（4）B・C̄ + Ā・B + B̄・C　（5）A・B + C

A	B	C	X
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

出題のポイント：X＝1 の行から規則を見つける

真理値表から論理式を作る問題は、X＝1 の行だけに注目します。本問では8行のうち5行がX＝1——その5行に共通する特徴を探すのが早道です。

A	B	C	X	気づくこと
0	0	1	1	C＝1
0	1	1	1	C＝1
1	0	1	1	C＝1
1	1	1	1	C＝1
1	1	0	1	★A＝B＝1

C＝1 の行は4つあり、すべてX＝1——つまり「C＝1 なら必ずX＝1」です。これで C という項が確定します。

残るX＝1 の行は A＝1、B＝1、C＝0 の1つだけ——これは A·B で表せます。A·B の行はもう1つ（A＝B＝C＝1）ありますが、そちらもX＝1なので矛盾しません。

\( X=C+A\cdot B \)

2つの条件の論理和
★どちらか一方でも成り立てばX＝1

8行の真理値表をC行とAB列からなる3変数カルノー図へ正確に移す手順図 — AB列は00、01、11、10の順に並べ、真理値表のX＝1を対応するマスへ移します。

Cが1なら常にXが1でCが0ならAとBがともに1のときXが1となる論理回路の解答図 — AとBのAND出力をCとORで結ぶとX＝AB＋Cとなり、正解は(5)です。

答え正解は (5) A·B＋Cです。「C が1 なら1、そうでなければ A と B が両方1 のとき1」——真理値表がそのまま式になっています。

カルノー図で確かめる

カルノー図を使うと、視覚的にグループが見えます。C を縦、AB を横に取った2行4列の表を作りましょう。

C＼AB	00	01	11	10
0	0	0	★1	0
1	★1	★1	★1	★1

下の行（C＝1）が丸ごと1——4マスのグループになるので、C だけが残る。4マスを囲むと変数が2つ消えるのがカルノー図の性質です。

もう1つは AB＝11 の縦2マス——2マスを囲むと変数が1つ消えるので、C が消えて A·B が残ります。

囲むマス数	消える変数の数	本問での例
1	0	—
2	1	AB＝11 の縦2マス →A·B
4	2	★C＝1 の横4マス →C
8	3	全部1 なら X＝1

大きく囲むほど式が簡単になる——だから「できるだけ大きなグループで囲む」のがカルノー図の使い方です。グループが重なってもかまいません——A＝B＝C＝1 のマスは両方のグループに含まれています。

⚠️ よくある間違い
選択肢を1つずつ真理値表で検証するのも確実な方法です。ただし8行×5肢＝40回の確認——時間がかかります。
効率がよいのは「1行だけ違いが出る行を探す」やり方。たとえば A＝0、B＝0、C＝0 の行はX＝0——この行で1 になる式は落とせます。
(3)は Ā·B の項があるので A＝0、B＝1、C＝0 で1 になりますが、真理値表では0——1行で落とせます。

⏱️ 本番での進め方
① X＝1 の行だけに注目する。
② C＝1 の4行がすべてX＝1 →項「C」が確定。
③ 残るのは A＝B＝1、C＝0 の行 →項「A·B」。
④ X＝C＋A·B。カルノー図なら4マスと2マスのグループ。

💡 覚え方
「X＝1 の行に共通する条件を探す」——ある変数が1 のとき常にX＝1 なら、その変数が単独で項になる。カルノー図なら「大きく囲むほど式が簡単」です。

カルノー図のCが1の横4マスとABが11の縦2マスを囲みXイコールABプラスCを導く図 — 横4マスからC、縦2マスからABが残り、重なった1は両方のグループに使えます。

論理式を作る2つの方法

真理値表から論理式を作るには、大きく2つのやり方があります。どちらでも同じ答えにたどり着きます。

方法	やり方	特徴
加法標準形（主加法標準形）	X＝1 の行を論理積で書き、すべて論理和で結ぶ	確実だが式が長い
乗法標準形	X＝0 の行に注目して論理和の積で書く	★X＝0 が少ないとき有利

本問は X＝1 が5行、X＝0 が3行——じつは X＝0 に注目したほうが早い かもしれません。

A	B	C	X	共通点
0	0	0	0	C＝0
0	1	0	0	C＝0
1	0	0	0	C＝0

X＝0 の3行はすべて C＝0——しかも A と B が両方1 ではない。つまり「C＝0 かつ A·B＝0 のときだけX＝0」ということです。

裏を返せば「C＝1 または A·B＝1 ならX＝1」——X＝C＋A·B がそのまま出てきます。0 の側から攻めても同じ答えになるのです。

ド・モルガンの法則で確かめる

X＝0 の条件を式にして、それを否定する——これがもうひとつの筋道です。

\( \overline{X}=\overline{C}\cdot\overline{A\cdot B} \)

X＝0 の条件
C が0 で、かつ A·B が0

\( X=\overline{\overline{C}\cdot\overline{A\cdot B}}=C+A\cdot B \)

ド・モルガンで否定
★積の否定は否定の和

ド・モルガンの法則 (A·B)‾＝Ā＋B̄——「積の否定は否定の和」「和の否定は否定の積」。否定を分配するときに符号が入れ替わると覚えてください。

論理回路として実現する

X＝A·B＋C という式は、そのまま回路になります。ANDゲート1つとORゲート1つ——非常に簡単な構成です。

式	必要なゲート	段数
A·B＋C（正解）	AND 1個、OR 1個	★2段
主加法標準形（5項）	AND 5個、OR 1個、NOT 3個	2段だが部品が多い

論理式を簡単にする目的は、部品を減らすことです。ゲートが減れば、回路が小さく安く、しかも速くなる——だからカルノー図で簡単化するのです。

実際のディジタル回路ではNANDだけで作ることも多くあります。NANDは万能ゲート——NAND だけでAND・OR・NOTのすべてが作れるからです。1種類の素子で済めば、製造も在庫も楽になります。

この論理は何を表しているか

X＝A·B＋C という式を、日本語に直してみましょう。「C が成り立つか、A と B の両方が成り立てば出力する」——実際の制御でよくある条件です。

場面	C にあたるもの	A·B にあたるもの
非常時と通常時	非常停止信号	通常の停止条件が2つそろう
手動と自動	手動起動ボタン	自動運転中かつ条件成立
優先動作	優先信号（単独で効く）	通常の条件（2つ必要）