パワエレ8【電験3種機械】PWM制御インバータの基本波実効値と高調波を含む実効値！平成25年 B問題16 完全解説

2026年7月7日2026年8月4日

電験3種機械科目パワーエレクトロニクス平成25年度 B問題16 PWM波に潜む高調波！実効値はいくつになる？

今回は平成25年度機械科目 B問題16を解説します。パルス幅変調制御（PWM制御）によって50〔Hz〕の交流電圧を出力するインバータで、基本波成分の実効値(a)と高調波を含めた実効値(b)を求める問題です。

基本波振幅は V_A＝V_B＝(V_S/V_C)×(V_d/2)。V_A-B＝V_A＋V_B が最大値になるので、実効値は√2で割ります。高調波を含む実効値は、電圧を出力している時間の合計 T_s から V_rms＝√(T_s/5)×V_d で求めます。

平成25年度機械科目 B問題16：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種機械科目パワーエレクトロニクス平成25年度 B問題16 問題文 — 平成25年度機械科目 B問題16 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成25年度第三種電気主任技術者試験」機械科目 B問題16

電験3種機械科目【パワーエレクトロニクス】平成25年度 B問題16

　図は，パルス幅変調制御（PWM制御）によって50〔Hz〕の交流電圧を出力するインバータの回路及びその各部電圧波形である。直流の中点Mからみて端子A及びBに発生する瞬時電圧をそれぞれ v_A〔V〕及び v_B〔V〕とする。端子AとBとの間の電圧 v_A-B＝v_A−v_B〔V〕に関する次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）v_A〔V〕及び v_B〔V〕の50〔Hz〕の基本波成分の振幅 V_A〔V〕及び V_B〔V〕は，それぞれ (V_S/V_C)×(V_d/2)〔V〕で求められる。ここで，V_C〔V〕は搬送波（三角波）v_C〔V〕の振幅で10〔V〕，V_S〔V〕は信号波（正弦波）v_sA〔V〕及び v_sB〔V〕の振幅で9〔V〕，V_d〔V〕は直流電圧200〔V〕である。v_A-B〔V〕の50〔Hz〕基本波成分の振幅は V_A-B＝V_A＋V_B〔V〕となる。v_A-B〔V〕の基本波成分の実効値〔V〕の値として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）64　（2）90　（3）127　（4）141　（5）156〔V〕

（b）v_A-B〔V〕は，高調波を含んでいるため，高調波も含めた実効値 V_rms〔V〕は，小問(a)で求めた基本波成分の実効値よりも大きい。波形が5〔ms〕ごとに対称なので，実効値は最初の5〔ms〕の区間で求めればよい。5〔ms〕の区間で電圧を出力している時間の合計値を T_s〔ms〕とすると実効値 V_rms〔V〕は次の式で求められる。

V_rms ＝ √((T_s/5)×V_d²) ＝ √(T_s/5)×V_d〔V〕

実効値 V_rms〔V〕の値として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）88　（2）127　（3）141　（4）151　（5）163〔V〕

出題のポイント：基本波の実効値と全体の実効値は違う

PWM波形には、狙って作った50 Hz の基本波と、スイッチングで生じた高調波が混ざっています。(a)は基本波だけの実効値、(b)は高調波も含めた全体の実効値——まったく別の量を問うていることをまず押さえましょう。

	(a) 基本波の実効値	(b) 高調波込みの実効値
何を測るか	50 Hz 成分だけ	波形そのもの
求め方	振幅を √2 で割る	通電時間の割合から計算
大小関係	小さい	★必ず大きい

高調波を含むぶん、全体の実効値は必ず基本波より大きくなります——問題文も「基本波成分の実効値よりも大きい」と明記しています。(b)の答えが(a)より小さければ、その時点で誤りだと分かります。

PWMインバータの基本波実効値127Vと高調波込み実効値151Vの計算 — 基本波実効値127Vと高調波込み実効値151Vを区別します。

(a) 基本波の実効値

PWMインバータの基本波振幅

\( V_A=\dfrac{V_S}{V_C}\times\dfrac{V_d}{2} \)

V_S/V_C は変調率（信号波と搬送波の振幅比）——これが1を超えると過変調になります。

\( V_A=V_B=\dfrac{9}{10}\times\dfrac{200}{2}=90\ [\mathrm{V}] \)

各端子の基本波振幅
変調率0.9、直流200 V

\( V_{A\text{-}B}=V_A+V_B=180\ [\mathrm{V}] \)

線間の振幅
AとBが逆位相なので足し算になる

\( V_{rms}=\dfrac{180}{\sqrt{2}}\fallingdotseq 127\ [\mathrm{V}] \)

実効値
180は最大値。√2 で割る

答え(a)の正解は (3) 127 Vです。V_A-B＝180 V は最大値（振幅）——実効値にするには √2 で割る必要があります。

⚠️ よくある間違い
(5) 156 Vや(4) 141 Vを選ぶ誤りが起こりがちです。180 をそのまま答えれば選択肢にありませんが、90×√2＝127 と90/√2＝64 を取り違えると(1)に落ちます。「振幅を √2 で割ると実効値」——向きを固定して覚えてください。

(b) 高調波を含めた実効値

PWM波形は、電圧が出ている期間と0の期間の繰り返しです。出ている間は ±V_d、出ていない間は0——だから実効値の2乗は「V_d²×通電時間の割合」になります。

PWM波形の実効値

\( V_{rms}=\sqrt{\dfrac{T_s}{5}}\times V_d \)

T_s は5 ms の区間で電圧を出力している時間の合計——図から読み取ります。

\( T_s=(1.31-0.96)+(2.59-1.94)+(3.80-2.93)+(4.94-3.97) \)

通電時間の合計
図から4つのパルス幅を読む

\( \phantom{T_s}=0.35+0.65+0.87+0.97=2.84\ [\mathrm{ms}] \)

計算
—

\( V_{rms}=\sqrt{\dfrac{2.84}{5}}\times200=\sqrt{0.568}\times200 \)

代入
—

\( \phantom{V_{rms}}\fallingdotseq 151\ [\mathrm{V}] \)

実効値
選択肢の151に一致

平成25年度機械B問題16の基本波実効値127Vと高調波込み実効値151Vの解答 — 答えは(a)-(3)、(b)-(4)です。

答え(b)の正解は (4) 151 Vです。基本波の127 V より大きい——差の分が高調波成分にあたります。

2つの実効値から、ひずみ率も計算できます。ひずみ率＝\( \sqrt{V_{rms}^{2}-V_1^{2}}/V_1=\sqrt{151^{2}-127^{2}}/127\fallingdotseq 0.63 \)——基本波の63 %もの高調波が含まれていることになります。

これがPWM波形の代償です。だから出力にはフィルタが必要——スイッチング周波数を上げれば高調波の次数も上がり、フィルタで除去しやすくなります。

⏱️ 本番での進め方
①(a) 変調率0.9×(V_d/2)＝90 V が各端子の振幅。線間は2倍の180 V。
② 180は最大値。√2 で割って127 V。
③(b) 通電時間の合計T_s を図から読み、√(T_s/5)×V_d。
④ (b)は必ず(a)より大きい。小さければ計算違い。

💡 覚え方
「基本波は振幅÷√2、全体は通電割合の平方根×V_d」——2つの実効値は別物。そして「全体のほうが必ず大きい」——この大小関係が最良の検算になります。

PWMインバータの基本波成分と高調波を含む全波形の実効値計算の比較 — 180Vは基本波の最大値であり実効値ではありません。

なぜ搬送波の周波数を高くするのか

本問で計算した151 V と127 V の差、つまり高調波成分をどう減らすか——それがPWM制御の設計課題です。鍵を握るのが搬送波（キャリア）の周波数になります。

搬送波周波数	高調波の次数	フィルタ	スイッチング損失
低い	低次に出る	大型が必要	小さい
高い	高次へ追いやられる	小型で済む	★大きくなる