パワエレ1【電験3種 機械】制御遅れ角αと平均出力電圧Vdのグラフ！平成24年 A問題10 完全解説

今回は平成24年度 機械科目 A問題10を解説します。単相全波サイリスタ整流回路で、制御遅れ角αに対する出力直流電圧Vdの関係を表すグラフを選ぶ問題です。

平均値は V_d＝(√2/π)V_a(1+cosα)＝0.900V_acos²(α/2)。V_a＝100Vを代入した V_d＝90.0cos²(α/2) の滑らかなS字カーブを選びます。

出題のポイント

平成24年度 機械科目 A問題10：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【パワーエレクトロニクス】 平成24年度 A問題10

　交流電圧 v_a〔V〕の実効値 V_a〔V〕が100〔V〕で，抵抗負荷が接続された図1に示す半導体電力変換装置において，図2に示すようにラジアンで表した制御遅れ角 α〔rad〕を変えて出力直流電圧 v_d〔V〕の平均値 V_d〔V〕を制御する。

　度数で表した制御遅れ角 α〔°〕に対する V_d〔V〕の関係として，適切なものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

　ただし，サイリスタの電圧降下は，無視する。

選択肢のグラフ (1)〜(5) は、下の問題図（図2の下段）を参照してください。

ポイント解説：制御遅れ角αと平均出力電圧Vd

図2の出力電圧 v_d の波形は、各半サイクルで制御遅れ角αからπまで電源電圧に等しくなります。この面積を半周期（π）で平均したものが平均電圧 V_d です。

\(V_d=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{\alpha}^{\pi}\sqrt2 V_a\sin\theta\,d\theta=\dfrac{\sqrt2}{\pi}V_a(1+\cos\alpha)\)。半角公式 \(1+\cos\alpha=2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}\) を使うと \(V_d=\dfrac{2\sqrt2}{\pi}V_a\cos^2\dfrac{\alpha}{2}\fallingdotseq0.900V_a\cos^2\dfrac{\alpha}{2}\) となります。

問題の解説

STEP1　平均値の式を積分で立てる

出力は α〜π の区間で \(\sqrt2 V_a\sin\theta\)。$$V_d=\frac{1}{\pi}\int_{\alpha}^{\pi}\sqrt2 V_a\sin\theta\,d\theta=\frac{\sqrt2}{\pi}V_a\bigl[-\cos\theta\bigr]_{\alpha}^{\pi}=\frac{\sqrt2}{\pi}V_a(1+\cos\alpha)$$

STEP2　半角公式で cos² の形に

\(1+\cos\alpha=2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}\) より $$V_d=\frac{2\sqrt2}{\pi}V_a\cos^2\frac{\alpha}{2}\fallingdotseq0.900V_a\cos^2\frac{\alpha}{2}$$

STEP3　Va＝100Vを代入しグラフを選ぶ

$$V_d=0.900\times100\times\cos^2\frac{\alpha}{2}=90.0\cos^2\frac{\alpha}{2}\ [\text{V}]$$

α＝0°で90V、90°で45V、180°で0Vと滑らかに減少するS字カーブはグラフ(5)です。

答え：(5)

まとめ

平均値の式	Vd＝(√2/π)Va(1+cosα)
cos²形	＝0.900Va·cos²(α/2)
Va＝100V	Vd＝90.0cos²(α/2)
該当グラフ	(5)
答え	(5)

▼あわせて解きたい関連問題
・単相サイリスタ全波整流の波形と式：【機械】平成28年度B問題16
・平滑リアクトル付き整流回路：【機械】平成22年度B問題16