情報15【電験3種 機械】カルノー図から得た論理式をNAND・NOR回路で実現！平成23年度 B問題18 完全解説

今回は平成23年度 機械科目 B問題18を解説します。4変数のカルノー図から得られた論理式X=Ā・B̄+B̄・D+Ā・C・D+A・B・C̄・D̄を、NAND回路とNOT回路で実現する式(a)、NOR回路とNOT回路で実現する式(b)をそれぞれ選ぶ問題です。

ド・モルガンの定理を2回適用するのがポイントです。(a)は積和形式全体を二重否定にしてNAND-NOT実現の形に、(b)は各積項を(A+B)‾のような和の否定（NOR）の形に変形して実現します。

平成23年度 機械科目 B問題18：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【情報】 平成23年度 B問題18

　次のカルノー図から得られた結果Xは次式の論理式で示される。X = Ā・B̄ + B̄・D + Ā・C・D + A・B・C̄・D̄。次の(a)及び(b)の問に答えよ。(a) Xの式をNAND回路及びNOT回路で実現する論理式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

　(b) Xの式をNOR回路及びNOT回路で実現する論理式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（選択肢はいずれもX=[(Ā・B̄)‾・(B̄・D)‾・(Ā・C・D)‾・(A・B・C̄・D̄)‾]‾の形の二重否定NAND構成で，各項内の否定の付与位置が選択肢ごとに異なる。詳細は選択肢画像参照。）

（選択肢はいずれもX=(A+B)‾+(B+D̄)‾+(A+C̄+D̄)‾+(Ā+B̄+C+D)‾の形のOR否定（NOR）構成で，各項内の否定位置が選択肢ごとに異なる。詳細は選択肢画像参照。）

出題のポイント：4つの積項を固定する

与式をP1=ĀB̄、P2=B̄D、P3=ĀCD、P4=ABC̄D̄の4積項に分けます。(a)は各PiをNANDで反転して最終NANDへ、(b)は各PiをNORで作って最終NORとNOTでORを実現します。反転記号の範囲を1項ずつ固定することが重要です。

ポイント解説：(a) 積和をNAND-NANDへ変換

積和形式の論理式をNAND回路だけで実現するには、ド・モルガンの定理を2回適用して二重否定の形に変形します。X=（積和形式）を(X̄)̄の形にし、内側の否定をさらにNAND（積の否定）の積として表現します。

同様に、NOR回路で実現する場合は各積項を「和の否定（NOR）」の形に変形し、それらの和（実際にはNORの否定の和）として表現します。

問題の解説：(b) NORの入力を1項ずつ照合

STEP1　(a) 与式にド・モルガンの定理を2回適用する

$$X=\bar A\bar B+\bar BD+\bar ACD+AB\bar C\bar D$$

4つの積項をP1、P2、P3、P4とおくと、ド・モルガンの定理により、$$X=\overline{\overline{P_1}\cdot\overline{P_2}\cdot\overline{P_3}\cdot\overline{P_4}}$$と表せます。

STEP2　(a) NAND-NOT構成に整理する

この形は、4つの積項を第1段のNANDでそれぞれ反転し、その4出力を最終NANDへ入れるNAND-NAND構成です。

選択肢と照合すると(5)が正解です。

STEP3　(b) AND-OR形式をOR-NOR形式に変形する

同じXの式を、各積項を和の否定（NOR）の形に変形すると、

$$X=\overline{(A+B)}+\overline{(B+\bar D)}+\overline{(A+\bar C+\bar D)}+\overline{(\bar A+\bar B+C+D)}$$

の否定の和という形になります。

STEP4　NOR-NOT構成と選択肢を照合する

各項をNORゲートとNOTゲートの組合せで実現する形が選択肢(3)と一致します。

答え：(a)-(5)，(b)-(3)

まとめ

与式	Ā・B̄+B̄・D+Ā・C・D+A・B・C̄・D̄
(a)の答え	NAND-NOT構成 (5)
(b)の答え	NOR-NOT構成 (3)
答え	(a)-(5)，(b)-(3)

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