情報13【電験3種 機械】論理式を積和形式・和積形式に簡単化する！平成25年度 B問題18 完全解説

今回は平成25年度 機械科目 B問題18を解説します。与えられた論理式を積和形式に簡単化する(a)と、別の論理式を和積形式に簡単化する(b)の2部構成の問題です。

(a)は共通項でくくって(Z̄+Z)=1などの公式を使う代数的な整理です。(b)はいったん式全体を否定して積和形式に展開し、共通項でくくってからもう一度ド・モルガンの定理を適用して和積形式に戻すという手順で解きます。

平成25年度 機械科目 B問題18：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【情報】 平成25年度 B問題18

　論理関数に関する次の(a)及び(b)の問に答えよ。(a) 論理式 X・Y・Z̄ + X・Y・Z + X̄・Y・Z + X̄・Y̅・Z を積和形式で簡単化したものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

　(b) 論理式 (X+Y+Z)・(X+Y̅+Z)・(X̄+Y+Z) を和積形式で簡単化したものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）X・Y + X・Z　（2）X・Y̅ + Y・Z　（3）X̄・Y + X・Z　（4）X・Y + Y̅・Z　（5）X・Y + X̄・Z

（1）(X+Z)・(Y̅+Z)　（2）(X̄+Y)・(X+Z)　（3）(X+Y)・(Y+Z)　（4）(X+Z)・(Y+Z)　（5）(X+Y)・(X̄+Z)

出題のポイント：くくり方と恒等式を選ぶ

(a)は第1・第2項をXY、第3・第4項をX̄Zでくくり、相補則を使います。(b)は最初の二つの因子に共通するX+ZをPと置き、(P+Y)(P+Ȳ)=Pを使うと短く整理できます。反転記号がどの変数に付くかを一段ごとに確認することが重要です。

ポイント解説：(a) 4項を2組に分ける

積和形式への簡単化は、共通項でくくって(Z̄+Z)=1のような公式を使うのが基本です。似た項同士をペアにする組合せを見つけることがポイントです。

和積形式への簡単化は、式全体をいったん否定して積和形式に展開し、共通項でくくってから再度ド・モルガンの定理を適用して和積形式に戻すという手順で行います。

問題の解説：(b) 共通部分X+Zに注目

STEP1　(a) 項をペアにして共通項でくくる

$$X\cdot Y\cdot\bar Z+X\cdot Y\cdot Z+\bar X\cdot Y\cdot Z+\bar X\cdot\bar Y\cdot Z$$

第1項・第2項をXYでくくり、第3項・第4項をX̄・Zでくくると、

$$=(XY)(\bar Z+Z)+(\bar XZ)(Y+\bar Y)=XY+\bar XZ$$

これは選択肢(5)と一致します。

STEP2　(b) 最初の2因子の共通部分X+Zをまとめる

最初の2因子に共通するX+ZをPと置くと、(P+Y)(P+Y̅)=Pです。したがって最初の2因子はX+Zにまとまり、W=(X+Z)・(X̄+Y+Z)となります。

STEP3　和積形式へ整理する

(X+Z)・(X̄+Y+Z)を展開するとZ+XYです。恒等式U+VW=(U+V)(U+W)を使って和積形式へ戻すと、

$$W=(X+Z)\cdot(Y+Z)$$

これは選択肢(4)と一致します。

答え：(a)-(5)，(b)-(4)

まとめ

(a)の答え	X・Y+X̄・Z
(b)の答え	(X+Z)・(Y+Z)
答え	(a)-(5)，(b)-(4)

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