情報13【電験3種 機械】論理式を積和形式・和積形式に簡単化する！平成25年度 B問題18 完全解説

今回は平成25年度 機械科目 B問題18を解説します。与えられた論理式を積和形式に簡単化する(a)と、別の論理式を和積形式に簡単化する(b)の2部構成の問題です。

(a)は共通項でくくって(Z̄+Z)=1などの公式を使う代数的な整理です。(b)はいったん式全体を否定して積和形式に展開し、共通項でくくってからもう一度ド・モルガンの定理を適用して和積形式に戻すという手順で解きます。

出題のポイント

平成25年度 機械科目 B問題18：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【情報】 平成25年度 B問題18

　論理関数に関する次の(a)及び(b)の問に答えよ。(a) 論理式 X・Y・Z̄ + X・Y・Z + X̄・Y・Z + X̄・Y̅・Z を積和形式で簡単化したものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

　(b) 論理式 (X+Y+Z)・(X+Y̅+Z)・(X̄+Y+Z) を和積形式で簡単化したものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）X・Y + X・Z　（2）X・Y̅ + Y・Z　（3）X̄・Y + X・Z　（4）X・Y + Y̅・Z　（5）X・Y + X̄・Z

（1）(X+Z)・(Y̅+Z)　（2）(X̄+Y)・(X+Z)　（3）(X+Y)・(Y+Z)　（4）(X+Z)・(Y+Z)　（5）(X+Y)・(X̄+Z)

ポイント解説：論理式を積和形式・和積形式に代数的に簡単化する

積和形式への簡単化は、共通項でくくって(Z̄+Z)=1のような公式を使うのが基本です。似た項同士をペアにする組合せを見つけることがポイントです。

和積形式への簡単化は、式全体をいったん否定して積和形式に展開し、共通項でくくってから再度ド・モルガンの定理を適用して和積形式に戻すという手順で行います。

問題の解説

STEP1　(a) 項をペアにして共通項でくくる

$$X\cdot Y\cdot\bar Z+X\cdot Y\cdot Z+\bar X\cdot Y\cdot Z+\bar X\cdot\bar Y\cdot Z$$

第1項・第2項をXYでくくり、第3項・第4項をX̄・Zでくくると、

$$=(XY)(\bar Z+Z)+(\bar XZ)(Y+\bar Y)=XY+\bar XZ$$

これは選択肢(5)と一致します。

STEP2　(b) 式全体を否定して積和形式に展開する

与式W=(X+Y+Z)・(X+Y̅+Z)・(X̄+Y+Z)の否定W̄をド・モルガンの定理で展開し、積和形式に整理します。

STEP3　共通項でくくり再度ド・モルガンを適用する

整理した積和形式を共通項でくくった後、再びド・モルガンの定理（二重否定）を適用して和積形式に戻すと、

$$W=(X+Z)\cdot(Y+Z)$$

これは選択肢(4)と一致します。

答え：(a)-(5)，(b)-(4)

まとめ

(a)の答え	X・Y+X̄・Z
(b)の答え	(X+Z)・(Y+Z)
答え	(a)-(5)，(b)-(4)

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