今回は令和元年度 機械科目 B問題18を解説します。情報13（平成25年度B問題18）と同型の、論理式の簡単化を積和形式(a)と和積形式(b)でそれぞれ行う問題です。具体的な式・選択肢の数値は情報13とは異なります。
(a)はXY×Zのカルノー図（4×2マス）を描いてループ化する方法が分かりやすく、X・Y̅+Y・Zに整理できます。(b)は2項ずつペアにして(Z+Z̄)や(Y+Y̅)の吸収則を使うと(X+Y)・(X+Z)の形に整理できます。
令和元年度 機械科目 B問題18：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和元年度 第三種電気主任技術者試験」機械科目 B問題18
電験3種 機械科目 【情報】 令和元年度 B問題18
論理関数について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。(a) 論理式 X・Y・Z + X・Y̅・Z̄ + X̄・Y・Z + X・Y̅・Z を積和形式で簡単化したものとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
(b) 論理式 (X+Y+Z)・(X+Y+Z̄)・(X+Y̅+Z) を和積形式で簡単化したものとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
（1）X・Y + X・Z （2）X・Y̅ + Y・Z （3）X̄・Y + X・Z （4）X・Y + Y̅・Z （5）X・Y + X̄・Z
（1）(X+Y)・(X+Z) （2）(X+Y̅)・(X+Z) （3）(X+Y)・(Y+Z̅) （4）(X+Y̅)・(Y+Z) （5）(X+Z)・(Y+Z̅)
出題のポイント：(a)は共通因数を2組探す
4項の積和形式——どの2項がまとまるかを探すのが第一歩です。1変数だけ違う組を見つければ、その変数が消えます。
4項
★1項目と3項目、2項目と4項目
A＋Ā＝1
1項目 XYZ と3項目 X̄YZ は X だけが違う——YZ でくくれば X＋X̄＝1。
2項目 XȲZ̄ と4項目 XȲZ は Z だけが違う——XȲ でくくれば Z̄＋Z＝1。きれいに2組に分かれます。
カルノー図でも確かめる
| Z＼XY | 00 | 01 | 11 | 10 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | ★1 |
| 1 | 0 | ★1 | ★1 | ★1 |
XY＝10 の縦2マス——Z が消えて X·Ȳ。Z＝1 の行の XY＝01 と11 の2マス——X が消えて Y·Z です。
XY＝10、Z＝1 のマスは両方のグループに入っています——重なってかまわないのがカルノー図の約束でした。
(b) 和積形式は分配則で
3つの括弧の積——共通部分を見つけて、和に対する分配則を使います。
★Z·Z̄＝0
X でくくる
★分配則を逆に使う
Y·(Ȳ＋Z)＝Y·Ȳ＋Y·Z＝0＋YZ＝YZ——ここでも補元則が効いています。
⚠️ よくある間違い
(a)と(b)で選択肢が似ている——否定の位置を1つずつ確認してください。(a)の(4) X·Y＋Ȳ·Z は、否定の付く場所が違うだけです。
検算は代入で——X＝1、Y＝0、Z＝0 なら元の式は2項目が1 なのでX＝1。答えの X·Ȳ＋Y·Z も 1·1＋0·0＝1 で一致します。
もう1点、X＝0、Y＝1、Z＝1 でも確かめる——元の式は3項目が1、答えも 0＋1＝1 で合います。
積和と和積を行き来する
(a)と(b)は、同じ道具を逆向きに使っている——使う補元則が違うだけです。
| 積和形式（a） | 和積形式（b） | |
| 形 | A·B＋A·C | (A＋B)(A＋C) |
| くくると | A(B＋C) | A＋B·C |
| 使う補元則 | ★A＋Ā＝1 | ★A·Ā＝0 |
| 消え方 | 括弧が1 になる | 項が0 になる |
積和では「くくった括弧が1 になって消える」——和積では「くくった項が0 になって消える」。どちらも変数が1つ減るという点は同じです。
迷ったら、いったん展開して積和形式にするのが確実——簡単化してから和積に戻せばよいのです。遠回りに見えて、こちらのほうが間違えにくいでしょう。
⏱️ 本番での進め方
①(a) 1変数だけ違う2項を探して、くくる。
② YZ(X＋X̄)＋XȲ(Z̄＋Z)＝YZ＋XȲ。
③(b) (A＋B)(A＋C)＝A＋B·C。Z·Z̄＝0 で消える。
④ X＋YZ を和積に戻して (X＋Y)(X＋Z)。
💡 覚え方
「積和は A＋Ā＝1、和積は A·Ā＝0」——使う補元則が逆。そして「代入して検算」——2点も試せばまず安心できます。
同型の問題が平成25年度 B問題18にあります（情報：論理式の簡単化）。式は違いますが手順はまったく同じです。
簡単化の結果を回路で比べる
簡単化すると、どれだけ回路が小さくなるか——(a)で確かめてみましょう。
| 元の式（4項） | 簡単化後（2項） | |
| AND | 3入力4個 | 2入力2個 |
| OR | 4入力1個 | 2入力1個 |
| NOT | 3個 | 1個 |
部品の数も入力数も大きく減ります——NOT が3個から1個になるのも見逃せません。簡単化した式には Ȳ しか現れないからです。
段数は同じ2段——速さは変わらず、部品だけが減る。これが簡単化の効果になります。
(b)の和積形式を回路にすると
(X＋Y)(X＋Z) は、OR →AND の2段——積和形式とは順序が逆になります。
どちらも2段なので速さは同じ——部品数も似たようなものです。だから実際にはどちらを使ってもかまいません。
ただし、使える素子で決まることはあります。NAND で作りたいなら積和、NOR で作りたいなら和積——手元の素子に合わせて形を選ぶのが実際の設計です。
B問題として出る論理式の簡単化
論理式の簡単化がB問題（配点の高い問題）で出る——それだけ重視されているテーマです。
| 年度 | (a)の形式 | (b)の形式 |
| 平成25年度 | 積和 | 和積 |
| 令和元年度（本問） | 積和 | 和積 |
どちらも「(a)積和、(b)和積」という同じ構成——式の数値が違うだけです。手順が固定されているので、練習すれば確実に取れる設問になります。
B問題は2問で1組——(a)と(b)は独立しているので、片方を落としてももう片方は取れます。本問はとくに独立性が高いので、あきらめずに両方取りにいきましょう。
練習の順序
まずカルノー図で答えを出す——視覚的なので間違えにくい。次に代数的な変形でも同じ答えになるか確かめる——2通りで一致すれば確実です。
3変数までならカルノー図が速い——4変数でも使えますが、環状の扱いに慣れが要ります。本問は3変数なので、カルノー図が最も確実でしょう。
まとめ
| (a)の答え | X・Y̅+Y・Z |
| (b)の答え | (X+Y)・(X+Z) |
| 答え | (a)-(2)，(b)-(1) |
▼あわせて解きたい関連問題
・論理式を積和形式・和積形式に簡単化する（平成25年度）：【機械】平成25年度B問題18
・カルノー図から得た論理式をNAND・NOR回路で実現：【機械】平成23年度B問題18
コメント