同期機20【電験3種 機械】抵抗負荷時の電機子電流と出力！平成22年 B問題15 完全解説

今回は平成22年度 機械科目 B問題15を解説します。抵抗器負荷を接続したときの電機子電流と出力を、一相分の等価回路から求める2問構成です。

無負荷電圧＝内部誘導起電力 \(E_0\)、同期リアクタンスと抵抗の直列回路と考えるのがポイントです。

問題文と選択肢

　1相当たりの同期リアクタンスが1 Ωの三相同期発電機が無負荷電圧346 V（相電圧200 V）を発生している。そこに抵抗器負荷を接続すると電圧が300 V（相電圧173 V）に低下した。次の(a)及び(b)に答えよ。ただし，三相同期発電機の回転速度は一定で，損失は無視するものとする。

（a）　電機子電流[A]の値として，最も近いのは次のうちどれか。

(1)　27　(2)　70　(3)　100　(4)　150　(5)　173

（b）　出力[kW]の値として，最も近いのは次のうちどれか。

(1)　24　(2)　30　(3)　52　(4)　60　(5)　156

出題のポイント：線間電圧を相電圧へ直し電圧三角形を作る

Y結線では、線間電圧346 Vと300 Vをそれぞれ√3で割り、無負荷相電圧E0＝200 V、負荷時相電圧E＝173 Vとして1相等価回路を考えます。抵抗負荷ではEとIが同相、同期リアクタンス降下XsIは直交するため、E0²＝E²＋(XsI)²の電圧三角形から電流を直接求められます。最後に相電圧・相電流を使って三相出力P＝3EIを計算します。

ポイント解説：E0²＝E²＋(XsI)²から電流を直接求める

無負荷の相電圧200 Vが内部誘導起電力 \(E_0\) です。抵抗 \(R\) 負荷を接続すると、\(E_0\) は同期リアクタンス \(jX_s(=j1\,\Omega)\) と \(R\) の直列回路に流れ、端子（相）電圧は \(E=173\) V。\(E=\dfrac{R}{\sqrt{R^2+X_s^2}}E_0\) から \(R\) を求め、\(I=E/R\)、出力は三相分 \(P=3EI\)。

$$E=\frac{R}{\sqrt{R^2+X_s^2}}E_0,\qquad P=3EI$$

問題の解説：電機子電流100 Aと三相出力約52 kWを求める

STEP1　抵抗 R を求める

$$\frac{200}{\sqrt{R^2+1^2}}\,R=173\ \Rightarrow\ \frac{40\,000\,R^2}{R^2+1}=29\,929$$

$$10\,071\,R^2=29\,929\ \Rightarrow\ R=\sqrt{\frac{29\,929}{10\,071}}\fallingdotseq1.724\ [\Omega]$$

STEP2　電機子電流を求める（a）

$$I=\frac{E}{R}=\frac{173}{1.724}\fallingdotseq100\ [\mathrm A]$$

よって（a）は(3)。

STEP3　出力を求める（b）

$$P=3EI=3\times173\times100\times10^{-3}=51.9\ [\mathrm{kW}]$$

よって（b）は(3)。

答え：(a) (3)、(b) (3)

まとめ

抵抗	\(R=\sqrt{29\,929/10\,071}\fallingdotseq1.724\,\Omega\)
電機子電流	\(I=173/1.724\fallingdotseq100\,\mathrm A\)…(a)(3)
出力	\(P=3\times173\times100\times10^{-3}=51.9\,\mathrm{kW}\)…(b)(3)
答え	(a) (3)、(b) (3)

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