電子の運動21【電験3種 理論】導体中の自由電子の平均移動速度（I=Nev）を計算する！平成19年度 B問題17 完全解説

今回は平成19年度 理論科目 B問題17を解説します。銅線中を流れる電流と自由電子の個数から、自由電子の平均移動速度を求め、さらに太さと電流を変えたときの速度比を求める計算問題です。

電流は「単位長さ当たりの自由電子の電荷×移動速度」で表せます。すなわちI=N・e・v（Nは1m当たりの自由電子数）。これを速度について解けば平均移動速度が、比をとれば速度の倍率が求まります。

出題のポイント

平成19年度 理論科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 平成19年度 B問題17

　導体中を流れる電流は、導体内の自由電子が移動することによって生じる。銅線中の自由電子の平均移動速度について、次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）直径1.6mmの銅線中に10Aの直流電流が流れている。この銅線1m当たりの自由電子の個数を1.69×10²³個、電子の電気量を-1.60×10^-19Cとするとき、自由電子の平均移動速度v[m/s]の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）1.37×10^-7　（2）3.70×10^-4　（3）1.92×10^-2　（4）1.84×10²　（5）3.00×10⁸

（b）直径3.2mm、流れる電流30Aの同じ材質の銅線における自由電子の平均移動速度は、（a）の銅線の平均移動速度の何倍になるか。最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）0.24　（2）0.48　（3）0.75　（4）6.0　（5）12

ポイント解説：電流I＝N・e・v（Nは1m当たりの自由電子数）

導体1m当たりの自由電子数をN[個/m]、電子1個の電荷の大きさをe[C]とすると、1m分の自由電子の電荷はNe[C]。これが速さv[m/s]で移動するので、電流はI=N・e・v[A]と表せる。よって平均移動速度はv=I/(Ne)。

（a）N=1.69×10²³個/m、e=1.60×10^-19C、I=10A。v=I/(Ne)=10/(1.69×10²³×1.60×10^-19)=10/(2.70×10⁴)≒3.70×10^-4[m/s]。自由電子の移動は非常に遅い。よって（a）は(2)。

（b）同じ材質なので自由電子の体積密度は一定。直径が1.6→3.2mm（2倍）で断面積は4倍となり、1m当たりの自由電子数Nも4倍になる。電流は10→30A（3倍）。v=I/(Ne)より速度比＝(電流比)/(N比)=3/4=0.75倍。よって（b）は(3)。

問題の解説

STEP1　電流と移動速度の関係

1m当たりの電荷Ne[C]が速さvで動く→I=Nev。よってv=I/(Ne)。

STEP2　（a）平均移動速度

v=10/(1.69×10²³×1.60×10⁻¹⁹)=10/(2.70×10⁴)≒3.70×10⁻⁴m/s。→(2)。

STEP3　（b）速度比

直径2倍→断面積4倍→N4倍。電流3倍。速度比=3/4=0.75。→(3)。

答え：(a)-(2)，(b)-(3)

まとめ

関係	I=Nev→v=I/(Ne)
(a)	3.70×10⁻⁴ m/s（(2)）
(b)	断面積4倍・電流3倍→3/4
(b)答	0.75倍（(3)）

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