電子の運動19【電験3種 理論】電子の運動エネルギーと速度の関係（v∝√K）を計算する！平成20年度 A問題12 完全解説

今回は平成20年度 理論科目 A問題12を解説します。真空中で電子の運動エネルギーが400eVのときの速さから、運動エネルギーが100eVのときの速さを求める計算問題です。

運動エネルギーK=½mv²は速度vの2乗に比例します。したがって速度は運動エネルギーの平方根に比例し、v₂=v₁√(K₂/K₁)で計算できます。eV単位のまま比で扱えるのがポイントです。

平成20年度 理論科目 A問題12：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成20年度 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題12

電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 平成20年度 A問題12

　真空中において、電子の運動エネルギーが400[eV]のときの速さが1.19×10⁷[m/s]であった。電子の運動エネルギーが100[eV]のときの電子の速さ[m/s]の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）2.98×10⁶　（2）5.95×10⁶　（3）2.38×10⁷　（4）2.98×10⁹　（5）5.95×10⁹

出題のポイント：運動エネルギーの比から速度比を平方根で求める

同じ電子では質量mが共通なので、運動エネルギーK＝1/2mv²の比を取れば定数を使わずに解けます。K₂/K₁＝v₂²/v₁²より、v₂/v₁＝√(K₂/K₁)です。K₁＝400 eV、v₁＝1.19×10⁷ m/s、K₂＝100 eVを代入すると、v₂＝1.19×10⁷×√(100/400)＝1.19×10⁷×1/2＝5.95×10⁶ m/sとなります。したがって正解は選択肢（2）です。エネルギーが4分の1なら、速度は平方根を取って2分の1になる点が要点です。

ポイント解説：K＝1/2mv²の比を取り、v∝√Kを導く

理論値でも確かめられます。\(v=\sqrt{\dfrac{2eW}{m}}\) に \(W=100\ \mathrm{eV}\) を入れると \(5.93\times10^{6}\ \mathrm{m/s}\)——比で求めた値とほぼ一致します。

与えられた \(1.19\times10^{7}\) も、400 eVの理論値 \(1.186\times10^{7}\) とぴたりです。問題文の数値が正確に作られていることが確認できます。

問題の解説：数値と指数を整理し、選択肢（2）を選ぶ

選択肢	値〔m/s〕	どんな誤りか	判定
(1)	\(2.98\times10^{6}\)	\(1/4\) 倍としてしまう（平方根を忘れる）	×
(2)	\(5.95\times10^{6}\)	正解	◎
(3)	\(2.38\times10^{7}\)	2倍としてしまう（増減が逆）	×
(4)	\(2.98\times10^{9}\)	光速の10倍	×（物理的に不可能）
(5)	\(5.95\times10^{9}\)	光速の20倍	×（物理的に不可能）

光速は \(3\times10^{8}\ \mathrm{m/s}\)——(4)(5)はこれを超えているので、計算するまでもなく消せます。「桁を確認する」習慣があれば一瞬です。

(3)の \(2.38\times10^{7}\) は基準の2倍です。エネルギーが減ったのに速さが増える——物理的におかしいと気づけます。

☝️ ひっかけの作り方：与えられた「400 eVで \(1.19\times10^{7}\)」を使わずに、定数から計算しても解けます。ただし電気素量と電子の質量を覚えている必要がある——比を使うほうが速くて確実です。

深掘り①：光速チェックという武器

速さを求める問題では、必ず光速と比べてください。\(3\times10^{8}\ \mathrm{m/s}\) を超える答えは、どんな計算をしても間違いです。

速さ	光速との比	現実にあるか
\(10^{6}\ \mathrm{m/s}\)	0.3 %	数 eVの電子（真空管）
\(10^{7}\ \mathrm{m/s}\)	3 %	数百 eVの電子（本問）
\(10^{8}\ \mathrm{m/s}\)	33 %	数十 keVの電子（ブラウン管）
\(10^{9}\ \mathrm{m/s}\)	333 %	存在しない

電験3種で扱う電子の速さは、たいてい \(10^{6}\sim10^{7}\ \mathrm{m/s}\) です。それより2桁以上大きい選択肢が出てきたら、まず疑ってください。

逆に \(10^{3}\ \mathrm{m/s}\) のような小さすぎる値も不自然です。音速（340 m/s）程度の電子は、常温の熱運動でも出ない——電界で加速すればもっと速くなります。

深掘り②：エネルギーと速さの対応表

よく出るエネルギーと速さの対応を、いくつか覚えておくと検算に使えます。

エネルギー	速さ	覚え方
1 eV	\(5.9\times10^{5}\ \mathrm{m/s}\)	約\(6\times10^{5}\)
100 eV	\(5.9\times10^{6}\ \mathrm{m/s}\)	10倍（\(\sqrt{100}\)）
400 eV	\(1.19\times10^{7}\ \mathrm{m/s}\)	20倍（\(\sqrt{400}\)）
10000 eV	\(5.9\times10^{7}\ \mathrm{m/s}\)	100倍（\(\sqrt{10^{4}}\)）

基準は「1 eVで約 \(5.9\times10^{5}\ \mathrm{m/s}\)」です。あとはエネルギーの平方根を掛けるだけ——\(v\fallingdotseq5.9\times10^{5}\sqrt{W\mathrm{[eV]}}\) という便利な形になります。

本問なら \(5.9\times10^{5}\times\sqrt{100}=5.9\times10^{6}\)——選択肢(2)とぴたり合います。比を使わなくても、この公式1本で解けます。

深掘り③：比例関係を見抜く力

「AのときBだった。CのときDはいくつか」型の問題は、電験のあらゆる分野で出てきます。比例の型を覚えておきましょう。

関係	\(x\) が \(k\) 倍のとき \(y\) は	電験での例
\(y\propto x\)	\(k\) 倍	抵抗と電圧（電流一定）
\(y\propto x^{2}\)	\(k^{2}\) 倍	電流と電力・電圧と電力
\(y\propto\sqrt{x}\)	\(\sqrt{k}\) 倍	エネルギーと速さ（本問）
\(y\propto1/x\)	\(1/k\) 倍	周波数と容量性リアクタンス
\(y\propto1/x^{2}\)	\(1/k^{2}\) 倍	距離とクーロン力

比で解けば定数を覚える必要がありません。本番では定数が与えられないことも多いので、比の関係を見抜く力が得点を左右します。

「二乗に比例」の逆は「平方根に比例」——ここを取り違えると、\(1/4\) と \(1/2\) を間違えます。本問の最頻誤答がまさにそれです。

★重要：令和4年度上期にそのまま再出題された

令和4年度上期A問題12は、本問と完全に同一の問題です。数値も5つの選択肢の並びも、正答番号(2)まですべて同じ——14年の時を経ての再出題でした。

	本問（平成20年度 A問題12）	令和4年度上期 A問題12
条件	400 eVで \(1.19\times10^{7}\ \mathrm{m/s}\)	完全に同一
問われるもの	100 eVのときの速さ	完全に同一
選択肢	2.98e6／5.95e6／2.38e7／2.98e9／5.95e9	並びも同じ
正答番号	(2)	(2)

選択肢の並びさえ変えずに再出題されました。当サイトで確認している「完全同一ペア」はこれで7組目です。

出題履歴：エネルギーと速さの関係は必修

比の関係だけで解ける問題は、知識より「気づき」が問われます。定数が与えられていないことに気づけば、比で解くしかないと分かる——問題文の情報から解法を逆算する訓練になります。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

あわせて解いておきたい記事：【理論】令和4年度上期A問題12（完全に同一の問題）

まとめ

関係	K=½mv²→v∝√K
比	v₂=v₁√(K₂/K₁)
計算	1.19×10⁷×(1/2)
答え	5.95×10⁶ m/s（(2)）

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