今回は令和元年度 理論科目 A問題12を解説します。間隔d[m]の平行板電極間で、正極から初速度0で放出された点電荷（電荷q、質量m）が中心d/2まで達する時間Tを求める問題です。
電荷に働く力qEから加速度a=qE/mを求め、初速度0の等加速度運動の式（距離＝½at²）に距離d/2を代入してTを求めます。距離が『d』ではなく『d/2』である点に注意します。
令和元年度 理論科目 A問題12：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和元年度 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題12
電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 令和元年度 A問題12
図のように、極板間の距離d[m]の平行板電極が真空中に置かれ、極板間に強さE[V/m]の一様な電界が生じている。質量m[kg]、電荷量q(>0)[C]の点電荷が正極から放出されてから、極板間の中心d/2[m]に達するまでの時間T[s]を表す式として、正しいものを求める。
ただし、点電荷の速度は光速より十分小さく、初速度は0m/sとする。また、重力の影響は無視できるものとし、平行板電極は十分大きいものとする。
点電荷が極板間の中心d/2[m]に達するまでの時間T[s]を表す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、点電荷の速度は光速より十分小さく、初速度は0m/sとし、重力の影響は無視できるものとする。
（1）√(md/qE)
（2）√(2md/qE)
（3）√(qEd/m)
（4）√(qE/md)
（5）√(2qE/md)
出題のポイント：等加速度運動の公式をそのまま使う
平等電界の中では力が一定なので、加速度も一定です。つまり高校物理の等加速度直線運動——自由落下とまったく同じ扱いができます。
初速度がゼロで、距離 \(d/2\) を進むまでの時間を聞かれています。\(x=\dfrac{1}{2}at^{2}\) を \(t\) について解くだけです。
\(x=d/2\) を代入すると \(2\) が約分されます。\(t=\sqrt{\dfrac{2\times(d/2)}{a}}=\sqrt{\dfrac{d}{a}}\)——きれいな形になります。
解説：加速度を出して時間の式に代入
\(F=ma\) から
\(\frac12\) どうしが約分
❷で両辺の \(\dfrac{1}{2}\) が約分されるのが本問の妙味です。\(\dfrac{d}{2}=\dfrac{1}{2}aT^{2}\) の両辺を2倍すれば \(d=aT^{2}\)——だから \(T=\sqrt{d/a}\) です。
もし「極板 \(d\) まで」なら \(d=\dfrac12aT^{2}\) となり \(T=\sqrt{\dfrac{2d}{a}}=\sqrt{\dfrac{2md}{qE}}\)——これが選択肢(2)です。\(\sqrt2\) 倍だけ違います。
誤答の正体：単位で3つ、\(d/2\) と \(d\) で1つ
時間の単位は秒です。各選択肢の中身の単位を確かめれば、3つは即座に消えます。
| 選択肢 | 式 | 単位 | 判定 |
| (1) | \(\sqrt{md/(qE)}\) | 秒 | ◎ |
| (2) | \(\sqrt{2md/(qE)}\) | 秒 | ×（\(d\) まで進む時間） |
| (3) | \(\sqrt{qEd/m}\) | m/s（速さ） | × |
| (4) | \(\sqrt{qE/(md)}\) | 1/s（周波数） | × |
| (5) | \(\sqrt{2qE/(md)}\) | 1/s（周波数） | × |
(3)は速さの次元です。\(\sqrt{qEd/m}\) は、実は \(d\) まで到達したときの速さ \(\sqrt{2qEd/m}\) に近い形——時間ではありません。
(4)(5)は時間の逆数です。分母と分子が入れ替わっている——\(\sqrt{}\) の中身が \(\dfrac{1}{\text{秒}^{2}}\) になります。
⚠️ よくある間違い
残る(1)と(2)は \(\sqrt2\) 倍の違いです。問題文をよく読むと「極板間の中心 \(d/2\) に達するまで」——\(d\) ではなく \(d/2\) です。(2)は最後の落とし穴。
☝️ ひっかけの作り方：「点電荷は正極から放出される」という設定に注意してください。電荷量 \(q>0\) の正電荷なので、正極から負極へ向かって加速されます。電子とは逆向きですが、計算は同じです。
深掘り①：等加速度運動の4つの公式
初速度ゼロの等加速度運動では、4つの量（距離・時間・速さ・加速度）が3つの式で結ばれます。
| 求めるもの | 式 | 本問での値 |
| 速さ \(v\) | \(v=at\) | — |
| 距離 \(x\) | \(x=\dfrac{1}{2}at^{2}\) | \(d/2\) |
| 速さ（時間を消去） | \(v^{2}=2ax\) | — |
| 時間（本問） | \(t=\sqrt{\dfrac{2x}{a}}\) | \(\sqrt{md/(qE)}\) |
\(v^{2}=2ax\) はエネルギー保存と同じ内容です。両辺に \(\dfrac{m}{2}\) を掛けると \(\dfrac12mv^{2}=max=Fx\)——「運動エネルギー＝仕事」になります。
時間を知りたいときだけ、\(x=\frac12at^{2}\) が必要です。速さだけならエネルギー保存で済む——問われている量で使う式を選びます。
深掘り②：数値を入れて実感する
実際にどれくらいの時間なのかを、具体的な数値で計算してみましょう。電子を \(E=10^{4}\ \mathrm{V/m}\)、\(d=1\ \mathrm{cm}\) の電界に置いた場合です。
とてつもない値
約2.4ナノ秒
加速度は \(1.76\times10^{15}\ \mathrm{m/s^{2}}\)——重力加速度 \(9.8\ \mathrm{m/s^{2}}\) の実に \(10^{14}\) 倍です。だから「重力の影響は無視できる」と問題文が書いているのです。
時間はわずか2.4ナノ秒——光が70 cm進む間の出来事です。電子デバイスの動作がこれほど速いのは、電子が軽くて加速度が桁違いに大きいからです。
深掘り③：電子と陽子で何が変わるか
同じ電界に、電子と陽子を置いたらどうなるか——電気量が同じで質量が違う場合の比較です。
| 電子 | 陽子 | 比 | |
| 電気量 | \(-e\) | \(+e\) | 同じ（向きは逆） |
| 質量 \(m\) | \(9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\) | \(1.67\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\) | 1836倍 |
| 力 \(F=qE\) | 同じ | 同じ | 1倍 |
| 加速度 \(a=F/m\) | 大きい | 小さい | \(1/1836\) |
| 到達時間 \(T\propto\sqrt{m}\) | 短い | 長い | 約43倍 |
到達時間は \(\sqrt{m}\) に比例します。\(T=\sqrt{md/(qE)}\) の形から明らかです——質量が1836倍なら時間は \(\sqrt{1836}\fallingdotseq43\) 倍になります。
だから電子デバイスは陽子デバイスより圧倒的に速いのです。半導体の中を動くのも電子（と正孔）——軽さが速さを生んでいます。
⏱️ 本番での進め方
❶ \(a=qE/m\) を出してから \(x=\frac12at^{2}\)——2ステップ。
❷ \(x=d/2\) に注意——\(d\) と読むと \(\sqrt2\) 倍ずれて(2)を選ぶ。
❸ 単位（次元）で(3)(4)(5)は即消し——時間は秒。
❹ \(\frac12\) どうしが約分——\(T=\sqrt{d/a}\) というきれいな形に。
💡 覚え方
「距離は時間の二乗に比例」——だから距離が半分なら時間は \(1/\sqrt2\) 倍です。中心までの時間は、端まで行く時間の \(1/\sqrt2\fallingdotseq0.71\) 倍——半分ではありません。
出題履歴：等加速度運動は毎年のように出る
平行板電極中の荷電粒子の運動は、電子理論で最も出題頻度が高いテーマです。力・加速度・速さ・時間・エネルギー——どれを問われても、\(F=qE\) と \(F=ma\) から出発すれば必ず解けます。
この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。
あわせて解いておきたい記事：【理論】令和7年度下期A問題12（電子に働く力）／【理論】令和6年度上期A問題12（到達速度）
まとめ
| 加速度 | a=qE/m |
| 距離 | s=d/2=½aT² |
| 時間 | T=√(md/qE) |
| 答え | (1) |
▼あわせて解きたい関連問題
・一様電界中の電子の等加速度運動（電子の運動5）：【理論】令和5年度下期 A問題12
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