三相交流12【電験3種理論】対称三相回路の断線事故で電流と断線電圧を求める！平成28年度 B問題15 完全解説

2026年7月13日2026年8月9日

電験3種理論科目電気回路（三相交流）平成28年度 B問題15 1線が断線した三相回路！電流と両端電圧はどうなる？

今回は平成28年度理論科目 B問題15を解説します。r〔Ω〕の抵抗6個が線間電圧V〔V〕の対称三相電源に接続され、b相の×印の位置で断線してc－a相間が単相状態になったとき、(a)電流Iの断線前に対する倍率と(b)×印の両側に現れる電圧のVに対する倍率を求めるB問題です。

断線前は対称三相なのでΔ結線負荷をY変換（r→r/3）して1相分で解きます。b相断線後は、電流が流れないb相の抵抗を切り離して c－a間の単相の直並列回路として解き、両者を比較します。

平成28年度理論科目 B問題15：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目三相交流平成28年度 B問題15 問題文 — 平成28年度理論科目 B問題15 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成28年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 B問題15

電験3種理論科目【電気回路（三相交流）】平成28年度 B問題15

　図のように、r〔Ω〕の抵抗6個が線間電圧の大きさV〔V〕の対称三相電源に接続されている。b相の×印の位置で断線し、c－a相間が単相状態になったとき、次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし、電源の線間電圧の大きさ及び位相は、断線によって変化しないものとする。

（a）図中の電流Iの大きさ〔A〕は、断線前の何倍となるか。その倍率として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）0.50　（2）0.58　（3）0.87　（4）1.15　（5）1.73

（b）×印の両側に現れる電圧の大きさ〔V〕は、電源の線間電圧の大きさV〔V〕の何倍となるか。その倍率として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）0　（2）0.58　（3）0.87　（4）1.00　（5）1.15

出題のポイント：断線したら「単相回路」として描き直す

b相が断線して、c-a相間だけの単相回路になります。三相の公式はもう使えません——単相の直流回路のように、素直に合成抵抗を求めるのが正しい方針です。

抵抗は6個——3個が線路（各線に1個ずつ）、3個がΔ結線の負荷という構成です。b線が切れても、Δの頂点Bは生きていることに注意してください。

断線前と断線後の見え方

$$\text{断線前}\text{：}\ \frac{r}{3}+r=\frac{4r}{3}\ (1\text{相})\qquad \text{断線後}\text{：}\ r+\frac{2r}{3}+r=\frac{8r}{3}\ (\text{a-c間})$$

※断線後のΔは「直接の $r$」と「B経由の $2r$」の並列＝$2r/3$ になります。

(a) で問われている $I$ は、Δの1辺（A-BまたはB-C）を流れる枝電流です。a-c間に流れ込む全電流ではありません——図で電流の位置を確認してください。

断線前の対称三相回路とb線断線後のa-c単相回路を対比し、枝電流倍率と開放端電圧を求める解法順序を示す解説図 — 断線前はΔ→Y変換、断線後はa-c端子から見たrと2rの並列、断線電圧は節点電位という順に分けて考えます。

(a) の解説：断線前後で同じ枝の電流を比べる

まず断線前——通常の平衡三相回路として計算します。

$$Z_{\text{1相}}=r+\frac{r}{3}=\frac{4r}{3}$$

❶ Δ→Y変換して線路と直列

$$I_l=\frac{V/\sqrt3}{4r/3}=\frac{3V}{4\sqrt3r}=\frac{\sqrt3V}{4r}$$

❷ 線電流

$$I_0=\frac{I_l}{\sqrt3}=\frac{V}{4r}$$

❸ Δの枝電流
これが基準

次に断線後——a-c間の単相回路として計算します。

$$R_{AC}=r\ /\!/\ 2r=\frac{2r}{3}$$

❹ Δ内部（B経由と並列）

$$R_{\text{合成}}=r+\frac{2r}{3}+r=\frac{8r}{3}$$

❺ 線路を両側に足す

$$I_{\text{全}}=\frac{V}{8r/3}=\frac{3V}{8r},\qquad V_{AC}=I_{\text{全}}\times\frac{2r}{3}=\frac{V}{4}$$

❻ 全電流とΔ両端電圧

$$I=\frac{V/4}{2r}=\frac{V}{8r}$$

❼ B経由（$2r$）の枝電流

比を取ると $\dfrac{V/(8r)}{V/(4r)}=\dfrac{1}{2}=0.50$——断線後は半分になります。

❻でΔの両端電圧が $V/4$ になるのがポイントです。線間電圧 $V$ のうち、線路抵抗2個で $3V/4$ を落としている——負荷に届くのは4分の1です。

Δ負荷の各枝rをYの各腕r/3へ変換し、相電圧V割るルート3と1相抵抗4r割る3から断線前の基準枝電流I0イコールV割る4rを導く解説図 — 断線前の線電流を求めた後、Δ結線の線電流は枝電流の√3倍という関係で、基準枝電流I₀＝V/(4r)を得ます。

答え(a) 断線前の 0.50倍　→　選択肢(1)

(b) の解説：電流ゼロの枝は電圧降下もゼロ

b線が断線しているので、b相の線路抵抗には電流が流れません。電流ゼロなら電圧降下もゼロ——負荷側の端子は、そのままΔの頂点Bの電位になります。

$$\dot V_A=\dot V_a-\dot I r,\qquad \dot V_C=\dot V_c+\dot I r$$

❶ Δの両端の電位

$$\dot V_B=\frac{\dot V_A+\dot V_C}{2}=\frac{\dot V_a+\dot V_c}{2}$$

❷ B は A と C の中点
$r$ と $r$ の中点

$$\dot V_a+\dot V_b+\dot V_c=0\ \Rightarrow\ \dot V_a+\dot V_c=-\dot V_b$$

❸ 対称三相の性質

$$\dot V_B=-\frac{\dot V_b}{2}$$

❹ 代入
b相電位の逆向き半分

$$\dot V_{\text{断線部}}=\dot V_b-\dot V_B=\frac{3}{2}\dot V_b$$

❺ ×印の両端

❷でBがAとCのちょうど中点になるのは、A-BとB-Cがどちらも $r$ で等しいからです。直列の等分割——抵抗が同じなら電位も真ん中です。

❺の大きさは $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{V}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{2}V\fallingdotseq0.87V$ です。相電圧が $V/\sqrt3$ であることを使います。

b線断線後にΔ負荷をrと2rの並列へ整理し、2r経路の枝電流IイコールV割る8r、断線前との比0.50、選択肢1を導く解説図 — 求めるIはa-c間から流れ込む全電流ではなく、A-B-Cの2r経路を流れる枝電流です。断線前との比は0.50になります。

b線の開放端電位を抵抗中点と平衡三相の電位関係から求め、断線電圧ルート3割る2Vすなわち0.87V、選択肢3を導く解説図 — 開放中はb線路抵抗の電圧降下が0です。負荷側端子はb相電位と反対向きで半分の電位となり、両端差は0.87Vです。

断線前後の回路整理、枝電流倍率0.50、開放端電圧0.87V、注意点を順番にまとめた総復習解説図 — （a）は同じΔ枝同士を比較し、（b）は電流0と電圧0を区別して節点電位から求めます。

答え(b) 線間電圧の 0.87倍　→　選択肢(3)

誤答の正体：「電流ゼロ＝電圧ゼロ」ではない

選択肢 (b)	倍率	どんな誤りか
(1)	0	「電流が流れないから電圧もゼロ」と誤る
(2)	0.58	$1/\sqrt3$——相電圧をそのまま答える
(3)	0.87	正解（$\sqrt3/2$）
(4)	1.00	線間電圧そのもの
(5)	1.15	$2/\sqrt3$

(1)の「0」が最も多い誤答でしょう。「断線しているから電圧もかからない」という誤解です——電流が流れないだけで、両端には確かに電位差があります。

むしろ断線部には高い電圧が現れるのが本問の教訓です。線間電圧の0.87倍——接触すれば感電する危険な電圧です。

⚠️ よくある間違い
「電流ゼロ」から言えるのは「その抵抗での電圧降下がゼロ」だけです。断線した箇所の両端の電位差は別問題——両側の電位を個別に求めて引き算する必要があります。

☝️ ひっかけの作り方：(a) で問われているのは「図中の電流 $I$」です。a-c間に流れ込む全電流（$3V/(8r)$）ではなく、Δの1辺を流れる枝電流——図で位置を確認しないと、まったく違う倍率になります。

深掘り①：断線前後で何がどう変わるか

断線という異常状態を、数値で整理しておきましょう。$r=1\ \Omega$、$V=1\ \mathrm{V}$ として比べます。

	断線前（正常）	断線後（b相断線）
回路の形	平衡三相	a-c間の単相
Δ両端の電圧	$V/4$（＝$I_0\times r$）	$V/4$（偶然同じ）
問題の枝電流 $I$	$V/(4r)$	$V/(8r)$
b線の電流	$\sqrt3V/(4r)$	0
断線部の電圧	0（つながっている）	$0.87V$

Δ両端の電圧が偶然どちらも $V/4$ になるのは面白い一致です。断線前は $I_0r=V/4$、断線後は $I_{\text{全}}\times2r/3=V/4$——別々の経路で同じ値になります。

問題の枝電流だけが半分に減っている——Δ両端の電圧は同じなのに、その枝の抵抗が $r$ から $2r$ に見えるようになったためです。

深掘り②：欠相事故の実務的な意味

三相のうち1本が切れる事故を「欠相（けっそう）」と呼びます。三相電動機にとっては深刻な故障です。

影響	内容
電流の不平衡	残った2線に電流が集中して過熱
トルクの低下	回転磁界が崩れて出力が大幅に低下
過熱・焼損	電動機が過負荷になり巻線が焼ける
断線部の電圧	高い電圧が現れて感電の危険

だから欠相保護継電器（オープンフェーズリレー）が設置されます。1相が切れたことを検出して、ただちに電源を遮断する——法規や電力の分野でも扱われる論点です。

本問が「断線部に0.87倍の電圧が現れる」ことを問うているのは、この危険性を意識させるためでもあります。「切れているから安全」ではないのです。

深掘り③：不平衡・異常状態の解き方

断線・短絡などの異常状態では、三相の公式が使えません。どう対処するかを整理しておきましょう。

手順	やること	本問では
❶	異常箇所を反映して回路を描き直す	b線を消す
❷	単相回路として合成抵抗を求める	$8r/3$
❸	電流を求め、分流を追う	$r$ と $2r$ で 2:1
❹	必要なら節点電位を計算	$V_B=-V_b/2$

❶の「描き直す」が最も大切です。元の三相回路図のまま考えようとすると混乱します——紙に単相回路として描き直せば、あとは中学校の直並列計算です。

❹の節点電位は、対称三相の性質（和がゼロ）で簡単になることが多いです。本問でも $\dot V_a+\dot V_c=-\dot V_b$ の一行で片づきました。

⏱️ 本番での進め方
❶ 断線したら単相回路として描き直す——三相の公式は捨てる。
❷ Δの2端子間は $r\ /\!/\ 2r=2r/3$——頂点は生きている。
❸ 電流ゼロ≠電圧ゼロ——断線部には電位差が現れる。
❹ $\dot V_a+\dot V_b+\dot V_c=0$——節点電位の計算を劇的に短縮。

💡 覚え方
「開放でも電位はある」——電流が流れないことと、電位差がないことは別です。乾電池の両端も、何もつながなくても1.5 Vある——同じことです。