単相交流53【電験3種理論】不平衡な単相3線式回路の線電流の大小を比較する！平成21年度 A問題7 完全解説

2026年7月12日2026年7月28日

電験3種理論科目電気回路（単相交流）平成21年度 A問題7 単相3線式がアンバランス！どの線に一番流れる？

今回は平成21年度理論科目 A問題7を解説します。抵抗・コイル・コンデンサからなる負荷を単相3線式電源（V_ab＝V_bc＝100V、V_ac＝200V）に接続したときの、線電流I_a・I_b・I_cの大小関係を求める問題です。

各負荷を流れる電流をフェーザ（複素数）で求め、端子a・b・cごとにキルヒホッフの法則で合成します。その大きさを比べて大小を判定します。

平成21年度理論科目 A問題7：問題文と選択肢

電気技術者試験センター公表の公式問題PDF（理論・問7）と公式解答PDFを確認しながら進めます。下の公式問題画像は回路図・電流方向・選択肢を含め、元のまま保持しています。

電験3種理論科目単相交流平成21年度 A問題7 問題文 — 平成21年度理論科目 A問題7 問題文

電験3種理論科目【電気回路（単相交流）】平成21年度 A問題7

　図のように抵抗、コイル、コンデンサからなる負荷がある。この負荷に線間電圧V̇_ab＝100∠0°〔V〕、V̇_bc＝100∠0°〔V〕、V̇_ac＝200∠0°〔V〕の単相3線式交流電源を接続したところ、端子a、端子b、端子cを流れる線電流はそれぞれİ_a〔A〕、İ_b〔A〕及びİ_c〔A〕であった。İ_a、İ_b、İ_cの大きさをそれぞれI_a〔A〕、I_b〔A〕、I_c〔A〕としたとき、これらの大小関係を表す式として、正しいのは次のうちどれか。

（1）I_a＝I_c＞I_b　（2）I_a＞I_c＞I_b　（3）I_b＞I_c＞I_a　（4）I_b＞I_a＞I_c　（5）I_c＞I_a＞I_b

出題のポイント：枝電流を複素数のまま合成する

3本の枝の電流は、それぞれ位相が違います。大きさだけを足し引きしてはいけません——複素数（フェーザ）のまま合成してから、最後に絶対値を取ります。

3つの負荷はすべて $3:4:5$ の直角三角形になっています。$|Z_{ab}|=|Z_{bc}|=5\;\Omega$、$|Z_{ac}|=10\;\Omega$——計算しやすいように選ばれた値です。

この問題の手順

$$\dot I=\frac{\dot V}{\dot Z}\;(\text{各枝})\quad\to\quad\dot I_a=\dot I_{ab}+\dot I_{ac},\;\dot I_c=\dot I_{bc}+\dot I_{ac},\;\dot I_b=\dot I_{bc}-\dot I_{ab}$$

※端子ごとにキルヒホッフの電流則を立てます。電流の基準方向を先に決めておくのが大切です。

平成21年度理論問7の出題ポイント。単相3線式回路で枝電流をフェーザとして求め、端子のKCLで線電流を合成して大小を比較する流れ — 位相差を保った複素数のまま枝電流を合成し、最後に絶対値を比較します。

各枝の電流を求める

$b$ を基準（0 V）とすると、$V_a=100$、$V_c=-100$ です。各枝の電流は $\dot V/\dot Z$ で求まります。

枝	インピーダンス	電圧	電流	大きさ
a-b	$3+j4$	100 V	$12-j16$	20 A
b-c	$4-j3$	100 V	$16+j12$	20 A
a-c	$8+j6$	200 V	$16-j12$	20 A

3つとも大きさは20 Aですが、位相がまったく違います。a-b は遅れ（誘導性）、b-c は進み（容量性）、a-c は遅れ——この違いが端子電流の差を生みます。

複素数の割り算は、分母の共役を分子分母に掛けるのが定石です。$100/(3+j4)=100(3-j4)/25=12-j16$——$|Z|^2=25$ で割ります。

端子ごとに合成する

$$\dot I_a=\dot I_{ab}+\dot I_{ac}=(12-j16)+(16-j12)=28-j28$$

❶ 端子a
$|I_a|=28\sqrt2=39.6$

$$\dot I_c=\dot I_{bc}+\dot I_{ac}=(16+j12)+(16-j12)=32$$

❷ 端子c
虚部が打ち消し合う。$|I_c|=32$

$$\dot I_b=\dot I_{bc}-\dot I_{ab}=(16+j12)-(12-j16)=4+j28$$

❸ 端子b（中性線）
$|I_b|=\sqrt{16+784}=28.3$

端子c では虚部がちょうど打ち消し合って、電流が実数（32 A）になります。b-c 負荷が容量性、a-c 負荷が誘導性で、無効分が相殺されたためです。

中性線 $I_b$ にも28.3 A の電流が流れています。負荷が不平衡だからです。平衡していれば中性線の電流はゼロになります。

線電流Ia・Ib・Icと枝電流Iab・Ibc・Iacの基準方向を示し、a・b・c各端子のKCLとIcの符号の意味を説明する図 — 電流の基準方向を先に決めると、Ia＝Iab＋Iac、Ib＝Ibc－Iab、Ic＝－（Ibc＋Iac）と整理できます。

答え$I_a=39.6>I_c=32>I_b=28.3$　→　選択肢(2)

平成21年度理論問7の問題解説1枚目。ab・bc・acの正しい回路接続、電圧、電流方向と複素インピーダンスを示す図 — 問題の解説1/3。抵抗・コイル・コンデンサを複素インピーダンスへ置き換え、各枝でI＝V/Zを使える形にします。

平成21年度理論問7の問題解説2枚目。共役複素数を使って3本の枝電流を実部と虚部へ丁寧に導出する図 — 問題の解説2/3。Iab＝12－j16 A、Ibc＝16＋j12 A、Iac＝16－j12 Aを、共役複素数を使って求めます。

平成21年度理論問7の問題解説3枚目。枝電流をKCLで合成し、Ia・Ib・Icの大きさを計算して正解2へ対応させる図 — 問題の解説3/3。KCLで合成してから絶対値を求めると、Ia約39.6 A、Ic＝32 A、Ib約28.3 Aとなり、正解は（2）です。

誤答の正体：大きさだけを足す

3つの枝電流はすべて20 Aです。もし大きさだけを足すと、$I_a=20+20=40\;\mathrm{A}$——実際は39.6 A で近いのですが、偶然です。

端子	大きさを単純に足す	正しい合成	差
$I_a$	40 A	39.6 A	ほぼ同じ（偶然）
$I_c$	40 A	32 A	大きく違う
$I_b$	0 A（引き算）	28.3 A	まったく違う

$I_b$ では致命的な差が出ます。大きさが同じ20 A どうしを引くとゼロですが、実際は28.3 A——位相が違うから打ち消し合わないのです。

$I_a$ がたまたま近い値になったので、「大きさを足しても大丈夫」と誤解しやすいのが厄介です。必ず複素数のまま計算してください。

⚠️ よくある間違い
a-c 間の負荷を $8+j6$ と読み取れるかも分かれ目です。6 Ω はコイル（リアクタンス）であって抵抗ではありません。$8+6=14\;\Omega$ としてしまうと、すべてが狂います。

深掘り①：不平衡だと何が問題になるか

単相3線式では、中性線に電流が流れないことが前提で設計されています。不平衡になると中性線にも電流が流れ、さまざまな不具合が生じます。

	平衡負荷	不平衡負荷（本問）
中性線の電流	0	28.3 A
中性線の電圧降下	なし	あり
上下の電圧	等しい	ずれる
中性線の太さ	細くてよい	太くする必要がある

中性線に電流が流れると電圧降下が生じ、上下の負荷にかかる電圧がずれます。片方が100 V を超え、もう片方が下回る——機器の故障につながります。

だから実際の配電では、負荷をなるべく均等に分けることが求められます。分電盤で回路を振り分けるとき、バランスを取るのはこのためです。

深掘り②：複素数計算を速くするコツ

複素数の割り算は、共役を掛けるのが基本ですが、極形式を使うほうが速い場合もあります。

$$\frac{100}{3+j4}=\frac{100(3-j4)}{(3+j4)(3-j4)}=\frac{100(3-j4)}{25}=12-j16$$

共役を掛ける方法
分母が $|Z|^2$ になる

$$\frac{100\angle0^\circ}{5\angle53.1^\circ}=20\angle-53.1^\circ$$

極形式の方法
大きさは割り算、角度は引き算

大きさだけ知りたいなら極形式が速いです。$100/5=20\;\mathrm{A}$——1行で済みます。ただし合成するときは直交形式（$a+jb$）に直す必要があります。

本問のように「合成してから大きさを比べる」問題では、直交形式のまま進めるのが効率的です。3:4:5 の三角形なら、共役を掛ける計算もきれいに収まります。

💡 覚え方
「大きさが同じでも位相が違えば合成結果は違う」——本問の3つの枝はすべて20 Aですが、端子電流は39.6・32・28.3 とばらばらです。位相の重要性がよく分かる問題です。

⏱️ 本番での進め方
❶ 基準を決める。$b$ を0 V とすると $V_a=100$、$V_c=-100$。
❷ 各枝を複素数で計算する。共役を掛けて分母を実数化。
❸ 端子ごとにKCL。向きをそろえてから足し引き。
❹ 最後に絶対値。大きさを先に足さない。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。