自動制御6【電験3種 機械】RC一次遅れ要素の折れ点角周波数とゲイン・位相特性！令和3年度 A問題13 完全解説

今回は令和3年度 機械科目 A問題13を解説します。抵抗RとキャパシタCで構成された一次遅れ要素（RC回路）の折れ点角周波数、ゲイン特性、位相特性に関する空所補充問題です。

G(jω)＝1/(1+jωCR)の形に整理し、折れ点角周波数ωc＝1/(CR)、低域ゲイン0dB、高域での傾き-20dB/dec、高域での位相遅れ90°という一次遅れ要素の典型的な性質を順に当てはめます。

令和3年度 機械科目 A問題13：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【自動制御】 令和3年度 A問題13

　次の文章は，図に示す抵抗R，並びにキャパシタCで構成された一次遅れ要素に関する記述である。図の回路において，入力電圧に対する出力電圧を，一次遅れ要素の周波数伝達関数として表したとき，折れ点角周波数ωcは（ア）rad/sである。ゲイン特性は，ωcよりも十分低い角周波数ではほぼ一定の（イ）dBであり，ωcよりも十分高い角周波数では，角周波数が10倍になるごとに（ウ）dB減少する直線となる。また，位相特性は，ωcよりも十分高い角周波数でほぼ一定の（エ）°の遅れとなる。

　上記の記述中の空白箇所(ア)〜(エ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし，R=10Ω，C=0.001Fとする。

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）
(1)	100	20	10	45
(2)	100	0	20	90
(3)	100	0	20	45
(4)	0.01	0	10	90
(5)	0.01	20	20	45

出題のポイント：RC回路の折れ点100 rad/s

抵抗10 Ωとコンデンサ0.001 FのRC回路で、出力はCの両端です。CR＝0.01 sなので折れ点角周波数はωc＝1/(CR)＝100 rad/sです。コンデンサを短絡する線がない正しい回路構成と出力位置を図で確認します。

ポイント解説：ゲイン－20 dB/decと位相－90°

RC回路（Cの両端を出力とする）の周波数伝達関数はG(jω)=1/(1+jωCR)という一次遅れ要素の標準形になります。折れ点角周波数はωc=1/(CR)、低域ゲインは0dB、高域では-20dB/decで下降し、高域での位相は-90°（90°の遅れ）に近づきます。

この一次遅れ要素の性質は、電験3種の自動制御分野で繰り返し問われる最重要パターンの一つです。

問題の解説：100・0・20・90で正解（2）

STEP1　周波数伝達関数を求める

$$G(j\omega)=\frac{1/(j\omega C)}{R+1/(j\omega C)}=\frac{1}{1+j\omega CR}=\frac{1}{1+j0.01\omega}$$

（R=10Ω，C=0.001Fを代入：CR=10×0.001=0.01）

STEP2　（ア）折れ点角周波数ωcを求める

折れ点は分母の虚部の大きさが1になるとき、$$1=(0.01\omega_c)\Rightarrow\omega_c=100\ [\text{rad/s}]$$

STEP3　（イ）（ウ）ゲイン特性を求める

ω≪ωcのとき g≈20log10(1)=0dB（イ）。

ω≫ωcのとき g≈-20log10(0.01ω)となり、角周波数が10倍になるごとに20dB減少（ウ）。

STEP4　（エ）位相特性を求める

位相はφ=-tan⁻¹(0.01ω)。ω≫ωcのときφ→90°の遅れ（エ）。

以上より（ア）100（イ）0（ウ）20（エ）90の組合せである(2)が正解です。

答え：(2)

まとめ

(ア) ωc	100 rad/s
(イ) 低域ゲイン	0 dB
(ウ) 高域傾き	20 dB/dec減少
(エ) 高域位相	90°遅れ
答え	(2)

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