照明4【電験3種 機械】無限長直線光源の光束発散度と直下の水平面照度！平成18年度 B問題17 完全解説

今回は平成18年度 機械科目 B問題17を解説します。管径36mmの完全拡散性無限長直線光源を床面上3mの高さに配置し、光束発散度M(a)と、光源直下の床面の水平面照度E_h(b)を求める問題です。

光束発散度は光源の表面積（円柱側面積）当たりの光束で求めます。直下照度は、光源を中心軸とする円筒面上ではどこでも法線照度が等しいという性質を利用し、円筒の側面積で光束を割ることで求めます。

平成18年度 機械科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【照明】 平成18年度 B問題17

　管径36〔mm〕の完全拡散性無限長直線光源を床面上3〔m〕の高さに床面と平行に配置した．光源からは単位長当たり3000〔lm/m〕の光束を一様に発散しているものとして，次の(a)及び(b)に答えよ．

（a）直線光源の光束発散度M〔lm/m²〕の値として，最も近いのは次のうちどれか．

（b）光源直下の床面の水平面照度E_h〔lx〕の値として，最も近いのは次のうちどれか．

（1）4.2×10³　（2）8.4×10³　（3）26.5×10³　（4）74.7×10³　（5）83.3×10³〔lm/m²〕

（1）80　（2）159　（3）239　（4）318　（5）333〔lx〕

出題のポイント：2つの円柱を区別する

光束発散度では管径0.036 mから光源自身の側面積を求めます。直下照度では、光源を軸とする半径3 mの仮想円筒を考えます。2つの円柱で使う寸法を取り違えないことが要点です。

ポイント解説：表面積を正しく選ぶ

光束発散度は、光源の単位長さ当たりの光束を、その単位長さ分の表面積（円柱側面積）で割って求めます。

完全拡散性の無限長直線光源では、光源を中心軸とする円筒面上のどこでも法線照度が等しくなります。この性質を使うと、円筒の側面積で単位長さ当たりの光束を割ることで、直下の水平面照度がそのまま求まります。

問題の解説：(a)は3、(b)は2

STEP1　（a）光束発散度Mを求める

管の断面は直径36mm＝0.036mの円。単位長さ1mあたりの表面積は円周×1＝π×0.036〔m²〕。$$M=\frac{3000}{\pi\times0.036\times1}\fallingdotseq26526\fallingdotseq26.5\times10^3\ [\text{lm/m}^2]$$

最も近いのは(a)-(3) 26.5×10³です。

STEP2　（b）円筒面上の法線照度が一定であることを利用する

光源Lを中心軸、半径3mの円筒Cを考えると、単位長さ当たりの光束3000lm/mがこの円筒の側面（単位長さ当たり2π×3〔m²〕）を通過します。円筒面上ではどこでも法線照度は等しいので、

STEP3　直下の水平面照度E_hを求める

床面の直下点では、円筒面の法線方向がちょうど鉛直方向と一致するため、法線照度＝水平面照度になります。$$E_h=\frac{3000}{2\pi\times3\times1}\fallingdotseq159.2\ [\text{lx}]$$

最も近いのは(b)-(2) 159です。

答え：(a)-(3)，(b)-(2)

まとめ

M	3000/(π×0.036)≒26.5×10³ lm/m²
(a)	(3)
Eh	3000/(2π×3)≒159.2lx
(b)	(2)
答え	(a)-(3)，(b)-(2)

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